理论力学课后题答案理论力学课后题答案.doc

1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t，而通过下一等距离s的时间为.试证明枪弹的减速度（假定是常数）为 由题可知示意图如题1.1.1图: 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为.则有: 由以上两式得 再由此式得 1.26一弹性绳上端固定，下端悬有及两质点。设为绳的固有长度，为加后的伸长，为加后的伸长。今将任其脱离而下坠，试证质点在任一瞬时离上端的距离为 解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系. 题1.26.1图 设绳的弹性系数为,则有 ① 当 脱离下坠前，与系统平衡.当脱离下坠前，在拉力作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 ② 联立①② 得 ③ 齐次方程通解 非齐次方程③的特解 所以③的通解 代入初始条件：时，得；故有 即为在任一时刻离上端的距离. 1.39 一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。 证 质点受一与距离次方成反比的力的作用。 设此力为① 又因为 即 ② 当质点从无穷远处到达时，对②式两边分别积分： 当质点从静止出发到达时，对②式两边分别积分：得 所以质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。 1.43如质点受有心力作用而作双纽线...证 由毕耐公式 质点所受有心力做双纽线运动 故 故 1.44点所受的有心力如果为 式中及都是常数，并且＜，则其轨道方程可写成 试证明之。式中（为积分常数） 证 由毕耐公式 将力带入此式 因为 所以 即令 上式化为 这是一个二阶常系数废气次方程。 解之得 微积分常数，取，故 有 令 所以 3.10解 如题3.10.1图。一均质圆盘，半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为。已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？ 解：轴过点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿的方向有 即 ① 为转盘绕轴的转动惯量：（为盘的质量）， ② （为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动） =③ 由①②③得 又因为 故 所以 得 3.11通风机的转动部分以初角速绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为。如转动部分对其轴的转动惯量为，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一半？又在此时间内共转了多少转？ 解： 如题3.11.1图所示，设轴通过点垂直纸面指向外。则对轴有：设通风机转动的角速度大小为，由于通风机顺时针转动。所以，将代入上式得： 。又由于，解得： 故当时，㏑。又由于 （为通风机转动的角度） 设， 故当㏑时，，时间内通风机转动的转数 3.12解 如题3.12.1图，矩形均质薄片，边长为与，重为，绕竖直轴以初角速转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？ 解：坐标与薄片固连，则沿轴方向有： 且① 现取如图阴影部分的小区域，该区域受到的阻力 对轴的力矩 所以 ② 又薄片对轴的转动惯量 ③ 由①②③得： 当时， 3.15解 如题3.15.1图所示坐标系。一轮的半径为，以匀速无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？ 解：由于球作无滑滚动，球与地面的接触的速度与地面一致，等于零，所以点为转动瞬心。以为基点。设球的角速度，则 设轮缘上任意一点，与轴交角为，则故 当时，得最高点的速度当和时分别得到最高点和最低点的加速度 3.19长为2的均质棒，以铰链悬挂于点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降距离后，棒一共转了几转？ 解 ：固定坐标系。杆从水平位置摆到竖直位置过程中只有重力做功，故机械能守恒。设此时的角速度为，则 右边第一项为质心运动动能，第二项为杆绕质心转动的动能。解上式得 在杆脱离悬点后，根据动量定理和动量矩定理：①②③③式中为杆绕质心的转动惯量，为沿过质心平行于轴的合力矩，易知，又，代入③式得 即杆将作匀速转动。解①②得 所以质心的轨迹为一抛物线。 故当时，杆的质心下降，代入④式得 故时间内杆的转数 3.20质量为半径为的均质圆柱体放