数学建模中的层次分析法..ppt

数学建模中的层次分析法 层次分析法简介 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。　 层次分析法简介 一、层次分析法基本原理 分解 建立 确定 计算 判断 实际问题 层次结构 多个因素 诸因素的相 对重要性 权向量 综合决策 成对比较完全一致的情况 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根?的特征向量作为权向量w ，即 一致阵性质 成对比较阵和权向量 2 4 6 8 比较尺度aij Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。 便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量 一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根? ?n, 且? =n时为一致阵 CI 越大，不一致越严重 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR0.1时，通过一致性检验 Saaty的结果如下 “选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验 最大特征根?=5.073 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1 通过一致性检验 组合权向量 同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 最大特征根 ?1 ?2 … ?n 权向量 w1(3) w2(3) … wn(3) （2）考虑第3层对第2层 由1–9尺度得 权向量矩阵 例3 横渡江河、海峡方案的抉择 例3 横渡江河、海峡方案的抉择 例4 科技成果的综合评价 例5 某单位招聘工作人员，考核指标有 x1= “语文知识” x2= “外语知识” x3= “国内外政治经济时事知识” x4= “计算机操作能力” x5= “公关能力” x6= “容貌与气质” x7=“体形高矮与胖瘦” x8= “音色” 由此建立层次结构模型如下： 对象的综合分 知识 能力 表现 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0.237 0.348 0.415 0.500 0.154 0.346 0.250 0.750 0.492 0.361 0.147 评价指标 对应于目标层的权向量 评价公式 层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应用 2002年全国大学生数学建模竞赛B题： 已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现 的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因 素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的 算法。 一、 问题的提出 已给的29种方案分为两种类型 1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从0~9十个号 码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别 号码，构成一注 。根据单注号码与中奖号码相符的个数 多少及顺序确定中奖等级； 表1： “传统型” 中奖