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* * 本次课讲第三章第三节第四节 下次课将第四章第一节第二节 下次上课时交作业第21～24页 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 1.定义 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 r 阶子式D， 且所有的 r+1阶子式（如果存在的话）全等于0， 那么D 称为矩阵A的 最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R(A) . 一、矩阵的秩 2.秩的性质:初等变换秩不变. 定理 若A~B, 则 R(A) = R(B). (2) R(A) = 矩阵 B 非零行的行数. 矩阵 A 行阶梯形矩阵B; 初等行变换 (1) 分析：首先互换1、2行，第2步，用第一行把第2行以后的第2列元素变成0，按照上三角形依次做下去 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 所以：R（A)＝3 对于n 阶可逆矩阵A，因 ， 知A的最高阶非零子式为 ， 所以 A 的秩等于它的阶数， 故可逆矩阵 又称满秩矩阵而奇异矩阵又称降秩矩阵。 5.满秩定义 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 2） 若A~B, 则 R(A) = R(B); R(A) = R (kA). 分析：由于初等变换不改变子式非零的特性，由定理，显然初等变换秩不变。 二、矩阵的秩的基本运算: 1.等式（不变）运算 分析：由定义A的子式也是AT的子式，反之亦然 3） 若 P,Q 可逆, 则: R(PAQ) = R(A). 分析：因P、Q可逆，由初等矩阵定理，PAQ与A等价。 推论：若B可逆，则R(BA)=R(A)（或R(AB)=R(A)） 分析：在上述推论中，只要令P=B，Q=E即可（或P=E，Q=B） 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 分析：由定义，最大k阶子式是行列式，小于m、n 1） 2.不等式（大小比较）运算 2）部分的秩小于整体的秩 3）合（并）的秩小于秩的合（并）。即： 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 该不等式下一节有专门证明 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 三、 秩的应用——线性方程组秩的解法 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组， 向量方程为: (3) (4) 若线性方程组有解,称为是相容的,若无解,称为不相容. 1.线性方程组秩的解法定理 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 定理: n元线性方程组 (i) 无解的充要条件是 R(A) R (A , b); (ii) 有唯一解的充要条件是 R(A) = R( A , b)= n; (iii) 有无穷多解的充要条件是 R (A) =R (A , b) n. 证明: 设 R(A) = r, 增广矩阵 B = ( A ,b ) 的行最简形为: 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 (i) 若 R(A) R(B), 得矛盾方程 0=1. 所以(4)无解. (ii) 若 R(A) =R(B)=n, (或 不出现) 同时 也不出现 此时方程的个数m大于等于元的个数 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 其对应的方程组为: 故方程(4)有唯一解. 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 (iii) 若 R(A) =R(B) =r n, (或 不出现) 其对应的方程组为 (5) 令自由未知数 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 得含有 n – r 个参数的解 : 证毕. (6) 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 4.线性方程组解的判定与求解步骤: （1）非齐次线性方程组 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 （2）齐次线性方程组 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 例1： 求解齐次线性方程组 得与原方程组同解的方程组 R(A) = 2 4 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 由此可得 （ 可任意取值） —自由未知量 令 把它写成通常的参数形式 （ 为任意实数） —通解 把方程组的解写成向量的形式 —通解 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 例2 求解非齐次线性方程组 R(A) = R(B) = 2 4 解 对增广矩阵 B 施行初等行变换 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 对应的方程组为 即 令 则方程组的解为 —通解 或记作 即方程组有无数组解. 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结 第八讲：矩阵的秩与二三章总结