概率论与数理统计2-3..ppt

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概率论与数理统计2-3.

* 第三节 连续随机变量 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 1 连续随机变量及其密度函数 2 连续随机变量的数学期望 3 几个常用的连续型分布 定义: 若随机变量X的可能取值有不可列的无穷多种, 且对其分布函数F(x), 存在非负函数f(x),使得对任意x, 有 称X为连续型随机变量, 称f(x) 为X的(概率)密度函数. 记作X~f(x), 读作“X服从密度函数f(x)”. 1 连续随机变量及其密度函数 1). f(x)?0. 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 注2 判断一个函数f(x)是否是密度函数的充要条件是 注1 从大量重复实验角度(或统计角度)看, 密度函数是将描绘基本结果发生频率的曲线光滑并稳定后的结果. 下面我们讨论连续型随机变量分布函数的性质. 1) 对任意实数x1, x2, (x1?x2), 3) 对任意x, P(X=x)=0. 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 2) F(x)是连续函数, 这是因为 从而对任意实数a, b, (ab), 注3 由定积分几何意义可知分布函数F(x)等于x轴与曲线y=f(x)围城的区域在(-∞,x]间的面积. 即 零概率事件未必是不可能事件. 注5: 连续随机变量X的分布函数连续, 这是我们称其为连续随机变量的原因之一. 若一个随机变量即不是离散型又不是连续型, 我们称其为奇异型或混合型随机变量, 本课程不讨论该类型随机变量. 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 6: 称发生概率为0的事件为零概率事件. 7: 由于连续随机变量仅取一点的概率为0, 因此在计算随机事件概率时,增加,减少或改变至多可数个点不会影响事件概率的计算. 8: 改变连续随机变量密度函数至多可数个点的值不会影响随机变量的分布函数. 称概率为1的事件为几乎必然事件. 下面我们给出由分布函数确定分布密度函数的办法. 注4 X取值在一个小区间的概率 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 注9 由该定理和注8可知,若F(x)除至多可数个点外有连续导数, 那么密度函数 注10 由注9给出的密度函数可能会有一定差异,但不影响分布函数的表示和事件概率的计算. 这种现象是概率论研究中的一种特色, 而称这样的密度函数是几乎处处相等的, 称g(x),h(x)几乎处处相等. 对其简单说明如下: 设有随机变量X及函数g(x),h(x),若 例3.1 已知随机变量X的概率密度为 1) 求X的分布函数F(x), 2) 求P(0.5X1.5) 解: 由 可知 从而 因此 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 或由密度p(x)决定的分布的数学期望) 连续随机变量的数学期望是在连续场合下的一种加权平均. 刻画了分布函数的重心位置. (或密度函数p(x)的数学期望; 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 2 连续随机变量的数学期望 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 课堂练习1 3 几个常用的连续型分布 1) 均匀分布 均匀分布表明X落在[a, b]的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与区间位置无关. 分布函数为: 设连续型随机变量X具有密度函数 则称X在区间[a, b]上服从均匀分布. 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 此时 例3.5长途汽车起点站于每时的10分,25分,55分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率. 15 45 解 用X表示乘客于某时到达的时刻. 则X?U(0, 60) 设A={乘客候车时间超过10分钟} 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 简答 2) 指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 其分布函数为 上式在工程学上称为无记忆性. 华东师范大学统计系 概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 例3

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