概率论与数理统计6-2抽样分布1课件.ppt

1 §6.2 抽 样 分 布 统计量的概念 几个常用的统计量 常用统计量的分布 2 一、统计量的概念 定义：设X1,X2, …，Xn 为来自总体X的一个样本，g 说明 1. 统计量是随机变量. 是X1,X2, …，Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含 任何未知参数，则称g(X1,X2, …，Xn)是统计量. 统计量是一组独立同分布随机变量的函数 2.统计量引入的目的在于对所研究的问题进行 统计推断与分析. a)对未知参数进行估计; b）在总体分布已知或未知的情况下，对分布 中的参数进行假设检验. 3. 设 ( x1,x2, …,xn )是相应于样本（X1,X2, …，Xn） 的值，g(x1,x2, …,xn)是相应于g(X1,X2, …，Xn)的观查值. 3 例1 其中μ未知，σ2已知，问：下列随机变量中那些是 若X1,X2, …，Xn是来自总体X~N(μ,σ2)的一个样本, 统计量？ 4 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计 量的分布称为抽样分布. 5 经验分布函数 设x1,x2, …，xn 为总体分布函数为F(x) 为样本经验分布函数. 的一个样本,将x1,x2, …,xn 按由小到大的顺序排列，并 重新编号,设为x(1)≤x(2) ≤ … ≤ x(n）,则称函数 6 说明 经验分布函数Fn(x)对于任意一实数，在n 相当 大时，是以概率1的形式逼近于总体分布函数F(x) 格列文科定理 例1 P132 例题6-9 7 二、几种常用的统计量 样本均值 样本方差 证明 设X1,X2, …，Xn 为总体X的一个样本 　 样本标准差 样本k 阶原点矩 样本k 阶中心矩 8 说明：1. 样本均值是一阶原点矩. 2. (x1,x2, … , xn)是样本(X1,X2, … , Xn) 的一个样 本值，则有 样本均值观察值 样本方差观察值 样本标准差观察值 样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩的观察值 9 定理1 设x1,x2, …,xn总体x的一个样本，记 为样本均值 (1) 若总体X~N(μ,σ2),则 在n相当大时， (2) 若总体分布未知或不是正态分布,EX=μ,D(E)=σ2， 10 定理2 设X1,X2, …,Xn总体X的一个样本，记μk=E(Xk) 利用辛欣大数定律 (k=1,2, …,n), 则有 g(x1,x2, … , xn)是连续函数. 3. 结论 设X1,X2, …,Xn为来自总体X 的一个样本， 请记熟此结论！ 11 证明 12 说明 他们在统计中有不同效应， 在数理统计中流行两种形式的样本方差， S12作为总体X方差的无偏估计量， S22不能作为总体 X方差的无偏估计量，但当n 很大时两者相差很小. 13 极大极小顺序统计量 若x(1)=min{x1,x2, …,xn},x(2)=max{x1,x2, …,xn}为极 小与极大顺序统计量，则x(1)和x(2)的概率密度分别为 设x1,x2, …，xn 为总体分布函数为F(x),概率密度函 数为f(x)的一个样本,称x(1)=min{x1,x2, …,xn}, x(2)=max{x1,x2, …,xn},为该样本的极小与极大顺序统计 量. 定理2 14 证明 先求x(1)和x(2)的分布函数分别为F1(x)和F2(x). X与Y相互独立 15 X与Y相互独立 在分别对x(1)和x(2)的分布函数F1(x)和F2(x)求导，得. 16 三、正态总体的抽样分布—几种常用的统计量 若统计量χ2= X12+X22+…+Xn2 的概率密度函数为 则称统计量χ2服从自由度为n的χ2分布。　 定义 1. χ2---分布 设（X1,X2, …,Xn）是来自正态总体N(0,1)的样本， 17 Χ2--分布的性质 1) 若X~ χ2(m),Y~ χ2(n),且X，Y相互独立，则有 X+Y~ χ2(m+n), 2) χ2-分布的概率密度函数图形见书P137，其随n值 的不同图形而不同，n越大，图形越平缓；图形不对称. 3) 若χ2~ χ2(n), 则 E(χ2)=n, D(χ2)=2n . 18 4) χ2—分布的分位点 定义 对于给定的α（0α1), 称满足条件 的点χ2α(n)为χ2 (n)分布的上α分位点. 19 例2 解 例3 设（X1,X2, …,Xn）是来自正态总体N(μ，σ2)的样 本，则 且相互独立 20 定义 2. t --分布 X1~ N(0,1),X2~ χ2(n),且X1,X2相互独立, 则称 随机变量 的分布是自由度为n的t—分布。 对于给定的α（0α1),称满足条件 的点tα(n)为t分布的上α分位点. 定义