离散系统及其在生物与经济中的应用..ppt

离散系统及其在生物与经济中的应用 应用背景：工业炉控制系统 采样控制原理图 差分方程与Z变换 状态空间形式与z变换 能控性与能观性 能控性上面离散系统在n个采样时刻的状态解是： Gn非奇异：与连续系统一样，能控性矩阵秩为n； Gn奇异：对于使Gn x(0)＝0的非零初态，与能控性矩阵的秩无关。 高次差分方程与状态方程 选择状态变量 连续系统离散化 连续系统离散化 无论是利用数字计算机分析连续时间系统，还是利用计 算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时，都会遇到 把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题。连续线性 定常系统 连续系统离散化 离散系统的稳定性 s平面与z平面的映射关系 z变换中的复变量z与拉普拉斯变换的复变量s的关系是 其中 是采样周期，将 代入上式有 所以 即s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的角； 离散系统稳定的判据 离散系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特 征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。 是否存在类似于连续系统的Routh-Hurwitz判据？ 如果能找到一种变换： ，将左半平面变成单位 圆内部，那么以z为变量的特征方程就可以变换成以s为变 量的方程，从而可以借助于连续系统的Routh-Hurwitz判据 来判断离散系统的稳定性。引入变换 例子 已知离散系统的开环传递函数为 系统的特征方程为 ，即 直接求解可得闭环特征根为 如果做代数变换，令 ，代入特征方程得 利用Hurwitz判据同样可判定系统是稳定的。 Lyapunov方法 连续系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得 离散系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得 离散系统的应用 菲波纳奇级数与兔口模型 兔子的繁殖规律 定义 x3(t)——第t年新生兔数量（0～1岁） x2(t)——第t年1岁兔数量（1～2岁） x1(t)——第t年2岁兔数量（2～3岁） 3岁以上兔子不予考虑。 不考虑兔子死亡率 x2(t＋1)＝x3(t) x1(t＋1)＝x2(t) x3(t)＝x2(t)＋x1(t)(设第t年每对1岁与2岁兔各生2只小兔 ) 兔口模型 再设第0年1岁兔为x2(0)＝1万只，2岁兔为x1(0)＝1万只。 用迭代法求解上式可以得到xi(t)，i=1,2的序列： xi(t)的每一项（t ?2）都是前两项之和。这个序列被称为菲 波纳奇序列。 下面用z变换求菲波纳奇级数的通项公式 : 菲波纳奇级数的通项公式 将上式第一式代入第二式得到  求出x2(z)为：  查表求反变换得 考虑兔口增长率问题：设第t年兔子总数为y (t)，显然有 又 ? 将通项带入上式便求出第t年兔子总数量。兔子增长率?定义 为： 从通项可知，当时间足够长的之后，增长率趋于一个常数： 当t＝0时，兔子数y(t)＝4万只，那么30年以后兔子数为： y(30)=4×17441993.5万只。 商品市场价格变化的蛛网模型 蛛网模型研究生产周期较长的商品（如农产品）的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。 某种产品第t年需求量D(t)是当年价格p(t)的线性函数： 该种产品供应量S(t)则与去年价格p(t－1)有关，因为在第t－1年时价格为p(t－1)，农民则认为第t年还是这个价格，从而去安排生产。而生产的投入到产出之间有时间延迟。现供给函数为：两式中的a，b，e，f皆为大于0的常数。 设某地区西瓜供求函数如式(1),(2)所示。具体参数为： 设1998年西瓜价格为p(0)=0.3元/公斤，1999年农民愿意种西瓜量为S(1)=－0.5＋8×0.3＝1.9亿公斤，在1999年上市西瓜1.9亿公斤，如果西瓜还卖0.3元/公斤，吃瓜的需求量为D(1)＝7－12×0.3＝2.2亿公斤 1.9亿公斤，这意味着西瓜供不应求，因此西瓜将会涨价，直至供求平衡，供求平衡价格由下式决定：D(1)＝S(1)，可得p(1)＝0.425元/公斤。在2000年如果还卖0.425元/公斤，大众的吃瓜量为1.9亿公斤 2.9亿公斤，西瓜将供过于求，要将2.9亿公斤瓜全卖出去，其价格为： D(2)＝S(2)，p(2)＝0.34166元/公斤，类似地一年一年分析下去，可得西瓜价格波动地图解分析。 蛛网模型 理论分析：求解价格的变化，令D (t)=S (t)，得 做z变换