第2章多自由度系统振动课件.ppt

2.1 多自由度系统的自由振动 1.振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应（模态叠加） （一）多自由度振动微分方程的建立 牛顿运动方程（或达朗伯尔原理） 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法（第9章） 1.用牛顿定律建立微分方程 2.用拉格朗日方程建立微分方程 例题2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出车辆二自由度系统的动力学微分方程（右图）。 3.影响系数法 刚度影响系数法 柔度影响系数法 α11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上 m1 处所产生得位移，由材料力学，得 （二）多自由度系统的固有频率与主振型 求解二自由度系统的固有频率与主振型 （三）初始条件和系统响应（模态叠加） 2.2 动力减振器 2.3 多自由度系统的模态分析方法 1.方程的耦合与坐标变换 2.主振型的正交性 3.模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 5.模态矩阵正则化 6.振型截断法（Cut Off） 1.方程的耦合与坐标变换 2.主振型的正交性 与第一式相减，有 3.模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 （4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应 5.模态矩阵正则化（P35）（本科生略） 用正则模态矩阵进行坐标变换，有 6.振型截断法（Cut Off） 振型截断的正则化（P36）（本科生略） 2.4 确定系统固有频率与主振型的方法 1.矩阵迭代法 2.瑞雷(Rayleigh)法 3.邓克莱(Dunkerley)法 4.传递矩阵(Transfer Matrix)法 1.矩阵迭代法（P36） 2.瑞雷（Rayleigh）法（P42） 3.邓克莱(Dunkerley)法（P43） 4.传递矩阵(Transfer Matrix)法 传递矩阵法的优点： （1）所使用的矩阵阶次不随系统的自由度多少而变 对扭转系统，其矩阵始终为2阶（转角和扭矩） 对横向振动系统，其矩阵始终为4阶（2个位移和2个力） （2）很容易采用计算机计算，用同一程序可计算出系统的各阶固有频率与主振型 扭转振动的传递矩阵法 称为传递矩阵 适用于：（1）对于自由度很大的系统，可以进行自由度缩减，求解大模型的少数阶（前几阶）模态。（2）对于外力随时间变化较慢，系统初始条件中包含高阶主振型分量较少的情况。 在 n 个主振型中，取 个主振型，且 进行坐标变换，有 n×n1矩阵，无逆阵正 n1个方程，即自由度缩减 问题 由于 无逆阵，运用 不能直接求出模态坐标的初始条件 方法 利用 则 （2-51） 则可求出模态坐标的初始条件 讨论：振型截断法必然会带来计算精度的降低。但计算效率多大提高，在工程实际中得到广泛应用。 坐标变换 振型截断正则模态矩阵为 模态方程 模态坐标的初始条件 （2-54） 基本方法：基于数值计算方法的迭代计算方法 特征方程 改写为 或 （2-56） （2-57） 依次从最低阶固有频率和主振型开始计算 依次从最高阶固有频率和主振型开始计算 动力矩阵 引入一个迭代初始列阵 ，进行迭代计算： 得到下一步迭代初始列阵 是 中的最后一个元素（最好是绝对值最大的元素） n为固有特性阶数 k 为迭代次数 （2-60） 注意：请比较 容易看出：每次迭代中计算 精度设置：若满足 （也可以对其他值进行精度设置） 迭代过程终止， 则 第一阶主振型 第一阶固有频率（Hz） 过程示范： 初选 注意：到此，只求出第一阶主振型、第一阶固有频率！ 下一步目的：用矩阵迭代法求出二阶及所有固有频率和主振型 方法：用清除法——从动力矩阵D中清除与上一阶算出的主振型有关的部分 清除法 清除（矩阵）部分 上一阶算出的主振型固有频率和 上一阶用于迭代计算的动力矩阵。如果上一阶计算的是第一阶，即为原始动力矩阵 将 ，应用前面的迭代式，即可求解下一阶固有特性 说明：固有特性就是指固有频率和主振型 问题：有刚体运动的机械系统，刚度矩阵K是半正定的，无法求逆，也就无法直接形成动力矩阵 D，不能直接使用上述算法 方法： 改写为 α是任意正数 是正定矩阵 令 原问题改变为 利用前面的计算方法，得到固有频率与主振型 提问：请列举有刚体运动的机械系统？ 例如：空中的飞行器；齿轮减速器中的齿轮——轴扭转（不计摩擦力）… … （2-66） （2-64） （2-65） 讨论（P37） （1）采用（2-64）式后，系统的主振型（特征失量）不变，只是 变为 原系统的固有频率（特征值）变了， （2）α一般取比系统估计的最低固有频率的平方 略小一些为宜。 对经验不足者，这一点难以把握。可以随意取一个正数，试算之后调整。 课后练