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第七章 平面波的反射与透射 §7-1平面波在自由界面上的反射 自由界面：指地表应力为零的界面，半无限弹性体的界面就是自由界面。由于地球表面大气压相对于地球内部压力来说是十分小的，在讨论中可把大气压忽略不计，于是地球表面可以看作自由界面。 三点说明 因为地球介质在短暂力（如爆炸）的作用下，在离开震源稍远的大部分地区 可看成弹性体，并且地球半径比地震波波长大得多，所以可将地球看作半无限大弹性介质，同时，可近似将地震波视为平面波。 任何复杂的波都可看成一系列不同振幅，不同频率及波长谐波的叠加，因此仅讨论一个平面谐波入射到自由界面的情形即可。 如果平面波的传播方向与z轴垂直（即在xoy面或平行于xoy的平面内），弹性动力学问题中的场变量都依赖于x和y两维，此时弹性动力学问题为二维问题，这 时讨论分层介质波传播问题就是讨论这样二维弹性动力学问题。 §7-1平面波在自由界面上的反射 不同材料反射系数随入射角的变化 SH 波入射到自由界面 SH波 由这个唯一的边界条件可以分析得到以下结论： 质点平行于z轴振动的横波（SH波），入射到自由界面时，只产生一个质点是平行于z轴振动的反射横波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅与入射波的振幅数值相等，但是位相改变了 ；没有纵波反射。 SV波入射到自由界面 用位移场来讨论 取自由界面为xoy平面，y为波前与自由界面的交线，z轴指向介质内部。 波前面垂直于xoz面， 因此 和 都与y无关。 P波入射 SV波入射 直角坐标上进行投影 P波和平面SV波 P波和平面SV波 P波和平面SV波 边界条件 求解 当只有SV波入射时 当SH波入射时 §7-2平面波在两种介质分界面上的反射和透射 层状介质 入射波与反射波的传播方向存在关系。当入射波为横波的时候，反射横波的射线与自由界面法线的夹角等于入射角，反射纵波的射线与自由界面法线的夹角与入射角有如下的关系。 如果取反映反射时位相改变的量等于零，则反射横波的振幅和反射纵波的振幅与入射横波的振幅之间的关系为 质点平行于xoz面的位移由平面纵波P和平面SV波引起； 质点垂直于xoz面的位移由平面SH、波引起。 上面公式的通解形式为： 实际地球内部是成层结构的，我们称为层状介质。地震波在层与层之间的分界面上将会产生反射和透射。 可以证明，当任何一种弹性波到达紧密接触的两种介质的分界面时，一般来讲，都会产生四种波，其中两种波透射到第二种介质中去；另外两种波反射回原来的介质。 紧密接触的两种介质：对于地球内部的情况来说，压缩很大，对于相当微弱的弹性振动，可以认为分界面两边的介质质点是紧密接触的，界面上的介质是连续的。 在两种介质的分界面上的位移和应力都是连续的。 于是可以得到分界面上的边界条件。 边界条件： 在分界面上有力的边界条件：分界面两边的应力相等； 在分界面上有位移的边界条件：分界面两边的位移相等。 即：下述四个量应该相等 1、正应力 2、剪应力 3、质点的法向位移 4、质点的切向位移 上述每个量都由五个位移分量组合而成。其中三个分量来自原来介质的入射波和两个反射波，另外两个来自第二种介质的两个透射波。 一、入射波为纵波。 yoz面为两种介质a介质和b介质的分界面，x轴为界面的法线，一平面纵波平行于xoy面与x轴夹角为α1的方向入射到自由界面。 P1入射纵波 P1S1反射横波 P12透射纵波 P1S2透射横波 设入射纵波中质点的位移函数为： 相应的位移分量为： 设反射纵波中质点的位移函数为： 相应的位移分量为： 相应的位移分量为： 设反射横波中质点的位移函数为： 设透射纵波中质点的位移函数为： 相应的位移分量为： 相应的位移分量为： 设透射横波中质点的位移函数为： 在a介质中质点的总位移分量为： 在b介质中质点的总位移分量为： 设入射纵波的各个参数为已知，于是可以由边界条件确定反射波和投射波的各参数。 1、在分界面上位移连续，有 代入可得： 2、在分界面上应力连续，有 结论： 1、入射纵波到达两种介质的分界面上时，反射两种波，即反射纵波和反射横波；透射两种波，即透射纵波和透射横波。 2、入射波、反射波及透射波的传播方向之间存在关系： 3、入射波、反射波及透射波的振幅之间存在关系： 写成矩阵形式： 这就是著名的佐普瑞兹 Zoepritz方程。 根据能量守恒原则有： 垂直入射（或法向入射）时波的反射和透射 由此可推导出用于揭示入射、反射、透射波能量分配关系的佐普瑞兹(Zoepritz)方程。在该方程中，令入射角 求解得： 要把质点的振动分解为平行于z轴和在oxy平面内的两个分量。 1、对于