第三章 矩阵PPT.ppt

第三章 矩 阵 三、逆矩阵的求法 四、小结 在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是简化矩阵运算。 每一小块叫做矩阵地子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中直接看作是矩阵地元素一样。 这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清晰，意义更加明确。 例5 解 给方程两端左乘矩阵 给方程两端右乘矩阵 得 给方程两端左乘矩阵 得 给方程两端右乘矩阵 解 例6 解 例7 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵的计算方法 逆矩阵 存在 第四节 分块矩阵 一、分块矩阵的运算规则 例1 2 3 4 5 作A+B运算，要求对A和B的行、列的分法相同. 作λA运算，对A的分法无要求. 作AB运算，要求对A的列的分法与B的行的分法相同. 2、对称矩阵与反称矩阵 定义5 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称矩阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例6 设列矩阵 满足 证明 (1) 例7 证明任一 阶矩阵都可表示成对称阵与 反称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵， 所以B为反对称矩阵, 证毕. 所以C/2也是对称矩阵. 所以B/2也是反对称矩阵. 3、方阵的行列式 定义6 由 阶方阵 的元素按原次序所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 证明 + 奇异矩阵与非奇异矩阵 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 定理1 逆 4. 伴随矩阵 矩 阵 运 算 1、加法、减法 2、数与矩阵的乘法 3、矩阵与矩阵的乘积 4、转置 6、对称阵与伴随矩阵 5、方阵的行列式 五、小结 线性运算 (1) AB有意义，要求 A的列数 = B的行数. 注意: 则矩阵 称为 的逆矩阵,A称为可逆矩阵. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得 第三节 可 逆 矩 阵 一、概念的引入 例 设 二、逆矩阵的概念和性质 定义7 说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 的可逆矩阵， 则有 可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即 例 设 解 设 是 的逆矩阵, 则 利用待定系数法 考查： 所以 定义8 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 称为矩阵 的伴随矩阵. AA-1=E，则|A||A-1|=1，知|A|≠0； 若|A|≠0， 能否推出AA-1=E？ 故 同理可得 证明 定理1 n 阶方阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 证明 若 可逆， 按逆矩阵的定义得 证毕 推论1 证明 推论2 则 证明 逆矩阵的运算性质 证明 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 同理可得 故 解 例2 例3 设 解 于是 例4 * * 3.1 几种特殊矩阵 3.2 矩阵的运算 3.3 可逆矩阵 3.4 分块矩阵 3.5 初等矩阵 3.6 分块矩阵的初等变换 第一章 行列式 第二章 线性方程组 回 顾 （1）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 注意 不同阶数的零矩阵是不同的. 例如 第一节 几种特殊矩阵 （2）只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) （3）只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). （4）同型矩阵与矩阵相等的概念: 1. 行数相等且列数相等的两个矩阵,称为同型矩阵. 例如 为同型矩阵. 2. 若两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 则称矩阵 相等,记作 例1 设 解 (5)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 上三角矩阵 下三角矩阵 称为对角矩阵(或对角阵）. （6） 记作 （7）方阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 全为1 不全为0 记作 矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们