第二章 第2节作用于流体的力应力张量..ppt

* * 气象学与气候学 流体力学 大气科学学院 刘海文 §2 作用于流体的力、应力张量 ——研究流点所受的力和性质 在流体中任取一个以s 为界面的体积 ，作用于该体积上的力 分成两类： 质量力（体力） 和 面力（表面力） 下面逐一分析之： 一、质量力（体力） 1、定义：质量力（体力）是作用于所有流点上的力，它与周围流 点无关，常见的有：重力、万有引力、电磁力等。 在大气动力学中指重力。是非接触力。 2、表示方法 质量力用空间中分布密度函数 表示。 （2.19）---可以看成是力的分布密度。 如果质量力是重力，则 就是重力加速度g。 3、作用于有限体积元 上的质量力是： 二、面力（表面力） 1、定义：面力（表面力）是与流体表面S相接触的流体（或固体） 作用于流体表面S 上的力。如压力、粘性力、摩擦力。 2、表达式 以面力在表面上的分布密度来表示（记作 ) （2.20） 上式中的 是作用于某个流体面积 上的表面力，面力 又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为： 3、质量力和面力的区别( ) （1）质量力 是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的 函数，即： ，是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数 完全描述了。 （2）面力 是应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还 随着受力面元取向的不同而变化，即： 是空间某一点的位置, 是该点某一个受力面元的法向单位矢。 这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定， 对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些 面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来说是不 同的，因此， 是 位置 和表面法向 的函数了，另外还 随着时间变化。 问题 那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点 的面上所受的应力。-------是否一定要这样做？ ----------不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的 应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标 面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可 以通过它们及 表示出来。 即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量 完全地描述了一点的应力状况。 三、应力张量 1、一些符号和名词 （1）小面元 的法线方向： 当 封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1 当 不封闭时，可以规定一个方向为正。 (2)外法向（即周围）流体通过面元对面元 内流体的应力作用记为： （或说法线正向一侧流体作用于面元上的 应力以 表示） 面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为： （或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以 表示.） 根据牛顿的作用力与反作用力定律： 注意： 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的 n只是表示面元的法向。 （3）应力矢 在直角坐标轴上的投影。记为： 注意：第一个下标表示面元的法向，第二个 下标表示应力的投影方向。 （4） 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在 面元的法向和切向都有投影，即： 法线方向上的投影： ----法向应力 切线方向上的投影： ----切向应力 2、应力张量的证明 设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体 MABC，如图2-3。 注意： 不一定垂直于YOZ, XOZ, XOY平面。 2.21中含 的略去 根据牛顿第二运动定律，有： （2.18） 而流体所受的力 ，就是上面表中所列的内容，则可以写出这 这个四面体的运动方程： （体力 +面力） 上式中的 是三阶小量， 是二阶小量， 含 的项比含 的项小一个量级。当四面体无限缩小时， 含 的项可以略去， 则得到： （2.21） 又因为： 上式又可以写成： 移项为： （2.24） 上式中的三个小面积 是 在三个坐标面上的投影，即： （2.25） 上式中的 表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。 另外两个类同。将（2.25）代入（2.24）得到： 将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上， （2.26） 所以, 应力矢 在直角坐标轴上的投影 就为： （分别是i, j, k 方向） （2.27） （2.27） （2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量： ， ， 已知， 则任一法向为 的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。 因此三个矢量 ， ， ，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。