第二章_量子力学.ppt

n = 0 n = 1 n = 2 ? -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 -1 0 1 ω0(ξ) ωn(ξ) n=2 n=1 n=0 -1 1 ? -2 2 -4 4 |?10|2 ? （三）实例 解： （1）三维谐振子 Hamilton 量 例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 （2）本征方程及其能量本征值 如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有： 因此，设能量本征方程的解为： 解得能量本征值为： 则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程： （3）简并度 当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下： 当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，{n1 , n2, n3 }可能组合数即简并度为： 解：Schrodinger方程： 求能量本征值和本征函数。 例2. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场 ? 的作用，其势场为： 势V(x)是在谐振子势上叠加上-q ? x项，该项是x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。 （1）解题思路 （2）改写 U(x) （3）Hamilton量 进行坐标变换： 则 Hamilton 量变为： （4）Schrodinger方程 该式是一新坐标下一维 线性谐振子Schrodinger 方程，于是可以利用已有结果得： 新坐标下 Schrodinger 方程改写为： (2)奇偶宇称 §7 线性谐振子 （一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 （二）线性谐振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论 （三）实例 （一）引言 （1）何谓谐振子 其解为 x =Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。 （2）为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动，复杂运动都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，U 有一极小值U0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数： a x U(x) 0 U0 取新坐标原点为(a, U0 )，则势可表示为标准谐振子势的形式： （1）方程的建立 此式是一变系数 二阶常微分方程 （2）求解 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 1. 渐近解 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。 2. H(ξ)满足的方程 3.级数解 我们以级数形式来求解。 为此令： 即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2 k + bk(λ-1) = 0 从而导出系数 bk 的递推公式： （3）应用标准条件 (II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。 所以总波函数有如下发散行为： 结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。 （4）厄密多项式 由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 Hn(ξ) 也可写成封闭形式： 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 应 用 实 例 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2 H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ （5）求归一化系数 （6）讨论 1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。 上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 2. ψn具有n宇称 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}?ω≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中