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留数及其应用 摘 要：本文讨论了留数的定义和利用留数计算定积分. 关键词： 留数；奇点；积分 Residue and its Application Abstract： The definition of residue calculated integral using residue are discussed in this paper. Key Words： residue; singularity ；integral 引言 留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 1. 预备知识 1.1 留数的定义 定义 设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展开式中 一次幂项的系数称为在处的留数.记作，即=.显然，留数就是积分的值，其中C为解析函数的的去心邻域内绕的闭曲线. 关于留数，我们有下面定理. 1.2 留数定理 定理 设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，c是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么 一般来说，求函数在其孤立奇点处的留数只须求出它在以为中心的圆环域内的洛朗级数中项系数就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果是的可去奇点，那么.如果是本质奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗级数的方法来求.若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2. 留数的计算及应用 2.1 函数在极点的留数 法则1：如果为的简单极点，则 法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且 . 法则3：如果为的m阶极点，则 . 2.2函数在无穷远点的留数 定义 1 设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解析，则称 （） 为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）. 如果在的洛朗展开式为，则. 这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方. 定理 1 如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内） 为，则在各点的留数总和为零. 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则. 法则 4： . 例 1　求函数在奇点处的留数． 解　有两个一阶极点，于是根据（6.5）得 　　　　　 　　　　　 例 2　求函数在奇点处的留数． 解 有一个三阶极点，故由（6.7）得 例 3　求函数在奇点处的留数． 解　有一个一阶极点与两个二阶极点，于是由（6.4）及（6.7）可得 　　　　　 　　　　　 　　　　　 例 4 求下列函数在所有孤立奇点处的留数： （1）；（2）；（3）；（4）（n为自然数）. 分析 对于有限的孤立奇点，计算留数最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项的系数.但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些. 例如当为可去奇点时，（切记当时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式. 对于无穷远点的留数，一般是寻求在内洛朗展开式中负幂项的系数变号，也可转变为求函数在处的留数，还可以用公式，其中为的有限个奇点. 解 （1）函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式 这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式.所以 . （2）函数有孤立奇点0与，而且在内有如下洛朗展开式： 这里用了洛朗级数的乘法，它类似于数的乘法，但我们关心的只是项的系数.故 （3）函数有奇点：0，，.显然0为非孤立 奇点，为的一阶零点，所以为的一阶极点.由公式 由公式 ， 易知为的三阶极点. =- 1/6 注：由分式给出的函数，其中与在都解析.若为的一阶零点，那么当时，是的简单极点；当时，是的 可去奇点，不管是哪类点都有. (4) 函数以及方程的根为孤立奇点. 为的一阶零点（方程的单根）。由公式 2.3 留数在定积分计算中的应用 留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法.应用留数定理计算实变函数定积分的方法称为围道积分方法.所谓围道积分方法，概括起来说，就是不求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算.要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分.现就几个特殊类型举例说明. 2.3.1形如的积分 令?， ?， 是的有理函数；作为的函数，在上连 当经历变程