皮亚诺型余项.doc

目录 摘要………………………………………………………………………… 关键词……………………………………………………………………… Abstract……………………………………………………………… Key words………………………………………………………………….. 1．引言…………………………………………………………………… 2．不同型泰勒公式证明…………………………………………………… 2.1泰勒公式2.2带有皮亚诺型余项泰勒公式的证明…………………………… 2.3带有柯西型余项泰勒公式的证明……………………………………. 2.4带有拉格朗日余项泰勒公式的证明………………………………… 2.5带有积分型余项泰勒公式的证明…………………………………… 3．不同型余项泰勒公应用………………………………………………… 3.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式的应用……………………………… 3.1.1求未定式的极限的应用 3.1.2广义积分敛散性判定的应用 3.1.3数项级数和函数项级数敛散性判断的应用 3.2带有柯西型余项的泰勒公式的应用………………………….. 3.2.1初等函数的幂级数的展开式中的应用 3.3带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用…………………………… 3.3.1证明中值公式的应用 3.3.2证明等式和不等式的应用 3.3.3近视值的计算的应用 3.4带有积分型余项的泰勒公式的应用………………………………… 3.4.1定积分计算中的应用 4.结束语…………………………………………………………………… 参考文献…………………………………………………………………… 泰勒公式的证明 内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位,也在微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，例如我们可以使用泰勒公式, 佩亚诺型余项；另一种是定量的，如拉格朗日余项、柯西型余项等。来很好的解决有关高价函数导数问题。泰勒公式的收缩适度很好的锻炼了学习数学的思维，让我们在学习的时候有更广的思维空间。 关键字：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日 引言 泰勒公式是数学分析中一个重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式，来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断敛散性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限、近似、积分运算以及中值问题这四个方面的具体应用方法。 泰勒公式的证明 2.1 泰勒公式 我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点0可导，则有 即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n），其中n为多项式的次数，为此，我们考察任一n次多项式。 .（1） 逐次求它的点处的各阶导数，得到 ， 即 由此可见，多项式的各项系数由其点的各阶导数值所唯一确定。 对于一般的函数，设它在点存在直到n阶的导数。由这些导数构造一个n次多项式 （2） 称为函数在点处的泰勒多项式。的各项系数称为泰勒系数。由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至n阶导数值，即 ,k=0，1，2，。。。，n （3） 下面将要证明，即以（2）式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量。 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式的证明 定理1 若函数在点存在直至n阶导数，则有，即 （4） 证 设 现在只要证 由关系式（3）可知 并易知 . 因为存在，所以在点的某领域内存在n-1阶导函数.于是，当且，允许连接使用洛必达法则n-1次，得到 定理所证的（4）式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为皮亚诺型余项。所以（4）又称带有皮亚诺型余项的泰勒公式。 2.3带有柯西型余项的泰勒公式的证明 定理2 设函数和满足 （i）在[a,b]上连续； （ii）在（a,b）内可导； （iii）和不同时为零； （iv）, 则存在，使得 证 作辅助函数