动态规划算时间效率的优化.pptVIP

* * 动态规划算法时间效率的优化 福州第三中学 毛子青 动态规划算法的时间复杂度= 状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间 一、减少状态总数 二、减少每个状态转移的状态数 三、减少状态转移的时间 1、改进状态表示；（例一） 1、减少决策时间 （例三） 方法：采用恰当的数据结构； 2、减少计算递推式的时间 方法：进行预处理，利用计算结果等； 2、其他方法：选取恰当的规划方向等； 1、根据最优解的性质减少决策量；（例二） 2、其他方法：利用四边形不等式证明决策的单调性等； 例一、?? Raucous Rockers 演唱组（USACO`96） [问题描述] 现有n首由Raucous Rockers 演唱组录制的歌曲，计划从中选择一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。按下面的标准进行选择： ?? (1) 这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序； (2) 包含歌曲的总数尽可能多。 输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。输出所能包含的最多的歌曲数目。 设n首歌曲按照创作顺序排序后的长度为long[1..n]，则动态规划的状态表示描述为： g[i, j, k]，(0≤i≤n，0≤j≤m，0≤kt), 表示前i首歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目。 状态转移方程为： 当k≥long[i]，i≥1时： g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]+1，g[i-1,j,k]} 当klong[i]，i≥1时： g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]+1，g[i-1,j,k]} 规划的边界条件为： 当0≤j≤m， 0≤kt时：g[0,j,k]=0; 问题的最优解为：g[n,m,0]。 算法的时间复杂度为：O(n*m*t)。 改进的状态表示描述为： g[i,j]=(a, b)，0≤i≤n，0≤j≤i，0≤a≤m，0≤b≤t，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。 状态转移方程为： g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long[i]} 其中(a, b)+long[i]=(a’, b’)的计算方法为： 当b+long[i] ≤t时： a’=a; b’=b+long[i]; 当b+long[i] ＞t时： a’=a+1; b’=long[i]; 规划的边界条件： 当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0) 题目所求的最大值是：answer=max{k| g[n, k]≤(m-1,t)} 算法的时间复杂度为：O(n2)。 Back 例三、石子合并问题(NOI`95) [问题描述] 在一个操场上摆放着一圈n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分。 试编程求出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分以及相应的合并方案。 本例只考虑最大得分。 ij 规划的边界条件为：m[i,i]=0 令s[i,j]=k，表示合并的最优断开位置。 算法的时间复杂度为O(n3)。 设各堆的石子数依次为d[1..n]，则动态规划的状态表示为： m[i,j]，1≤i, j≤n，表示合并d[i..j]所得到的最大得分： 令 ，则状态转移方程为： 合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]要么等于i，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是： { (i) (i+1… j) } 或 { (i… j-1) (j) } 证明：设合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置 s[i,j]=p，且ipj-1。 情况1、t[i, p]≤t[p+1,j] 由于ip，所以可以设q=s[i,p]。于是最优合并方案为： { [ (i…q) (q+1...p) ] (p+1…j) } 它的得分F1=m[i, q]+m[q+1,p]+m[p+1,j]+t[i, j]+t[i, p] 我们可以构造如下的合并方案： { (i…q) [ (q+1...p) (p+1…j) ] } 它的得分F2=