考研数学二..docx

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设，当时， （ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无穷小2．已知是由方程确定，则（ ）（A）2（B）1（C）-1（D）-2３．设，则（ ）（Ａ）为的跳跃间断点． （Ｂ）为的可去间断点．（Ｃ）在连续但不可导． （Ｄ）在可导．４．设函数，且反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）５．设函数，其中可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）6．设是圆域的第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．8．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A） （B），为任意常数（C） （D），为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． ．10．设函数，则的反函数在处的导数 ．11．设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 ．12．曲线上对应于处的法线方程为 ．13．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为 ．14．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= ．三、解答题15．（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数．16．（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求．18．（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得．19．（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分11）设函数⑴求的最小值；⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．21．（本题满分11）设曲线L的方程为．（1）求L的弧长．（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．22．本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．23（本题满分11分）设二次型．记．（1）证明二次型对应的矩阵为 ；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 ．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数，其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设则有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 设区域由曲线围成，则 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A) (B) (C) (D) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设是由方程所确定的隐函数，则 .(10) .(11) 设其中函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I) 求的表达式;(II) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分) 证明,.(21)(本题满分10 分)(I)证明方