第五章 二次型 习题答案.doc

第五章 二次型 本章课后习题全解 习 题（P232-P234） 1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）； 2）； （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换． 解 （Ⅰ）1）设，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换 并配方，得到 ， 再作非退化线性替换 即 于是，原二次型的标准形为 ， 并且，所经过的非退化线性替换为 写成矩阵形式即为，其中．根据矩阵验算，得 ． 2）设． 解法1　配方法．对原二次型进行配方，得 ， 于是，令 则原二次型的标准形为 ， 且所作的非退化线性替换为 相应的替换矩阵为 ， 验算，得 ． 解法2 矩阵的合同变换法（见本章教材内容全解之标准形的求法）．对施行初等变换，得 ． 则原二次型的标准形为 ， 所作的非退化线性替换为，即 矩阵验证同解法１． （Ⅱ）1）根据（Ⅰ）已求得二次型的标准形为 ， 且非退化线性替换为 ①在实数域上，再作非退化线性替换 则有 可得原二次型的规范形为 ． ②在复数域上，再作非退化线性替换 则有 可得原二次型的规范形为 ． 2）根据（Ⅰ）已求得二次型的标准形为 ， 且非退化线性替换为 此时，该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 ． 『特别提醒』这个题目使用了化二次型为标准形的两种常用的方法：配方法和矩阵合同变换法． 3．证明： 与 合同，其中是的一个排列． 证法１ 设两个关于和的元二次型如下： ，． 那么和的矩阵即为题目中的两个矩阵．构造非退化的线性替换 则这个线性替换可以将二次型可化成．由于经过一次非退化的线性替换，新旧的两个二次型的矩阵是合同的，故题目中的两个矩阵是合同的． 证法２　设 与 ． 对交换两行，再交换两列，相当于对左乘和右乘初等矩阵和，而 即为将中的和交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将的主对角线上的元素变成，这也相当于存在一系列初等矩阵，使得 ， 令，则有，即与合同． 　　『方法技巧』证法１利用经过非退化线性替换前后两个二次型的矩阵是合同的这一性质；证法２利用了矩阵的合同变换，直接进行了证明． 7．判断下列二次型是否正定： 1）； 2）； 3）； 『解题提示』利于教材中的定理7进行判别，即利用二次型的矩阵的顺序主子式进行判别． 解 1）该二次型的矩阵为 ， 由于顺序主子式 ， ， 故原二次型为正定二次型． 2）该二次型的矩阵为 ， 由于的行列式 ， 故原二次型非正定． 3）设二次型的矩阵为 ，其中． 由于的任意阶顺序主子式所对应的矩阵与为同类型的对称矩阵，且 ，， 故原二次型为正定二次型． 8．取什么值时，下列二次型是正定的： 1）； 2）． 解 1）该二次型的矩阵为 ， 其各阶顺序主子式为 ，，． 当顺序主子式全大于零，即 时，原二次型是正定的．解上面不等式组，可得． 于是，当时，原二次型是正定的． 2）该二次型的矩阵为 ， 其各阶顺序主子式为 ，，， 当顺序主子式全大于零，即 时，原二次型是正定的．但此不等式组无解，于是，不存在值使原二次型为正定． 『方法技巧』对于具体的二次型，利用其矩阵的顺序主子式判别二次型是否正定是比较常用的． 10．设是实对称矩阵，证明：当实数充分大之后，是正定矩阵． 证明　设是一个级实对称矩阵，是的全部顺序主子式．显然也是一个实对称矩阵，且其顺序主子式都是首项系数为１的实系数多项式．由实函数的理论可知，存在充分大的，使得当时，全大于零．于是，当实数充分大之后，是正定矩阵． 11．证明：如果是正定矩阵，那么也是正定矩阵． 证法1 由于是正定矩阵，从而是对称矩阵，则，即也是实对称矩阵．又因为是正定矩阵，故是正定二次型，作非退化线性替换，得到 ， 根据非退化线性替换不改变二次型的正定性，所以为正定二次型，从而是正定矩阵． 　　证法2　由于是正定矩阵，从而是对称矩阵，则，即也是实对称矩阵．又因为是正定矩阵，故与单位矩阵是合同的，即存在可逆矩阵，使得，从而 ， 即也与单位矩阵是合同的．于是也是正定矩阵． 　　『方法技巧』证法１利用了正定二次型与正定矩阵的对应，以及非退化线性替换不改变矩阵的正定性；证法２根据正定矩阵的等价条件直接进行了证明． 13．如果都是级正定矩阵，证明：也是正定矩阵． 证明 因为为正定矩阵，故都是级实对称矩阵，从而也是级实对称矩阵．设是任意一个非零列向量，根据是正定的可知 ， 故也是正定矩阵． 『方法技巧』对正定矩阵和正定二次型的定义的考查． - 8 - 即为前面两个非退化线性替换的复合．