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关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记 摘 要 本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。 关键词 实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式 Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix” Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used. Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality 目 录 1 引言与记号…………………………………………………………….. ……..1 2 实矩阵的若干行列式不等式及证明………………………………………....1 3 复数域中矩阵的若干行列式不等式……………………………………..……5 4 结论（结束语）………………………………………………………..………9 5 参考文献 ………………………………………………………………...……9 6 致谢………………………………………………………………...…………10 一 引言与记号 复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。关于文中的符号，矩阵的转置记为；方阵的共轭转置记为；方阵的行列式记为或，其模记为；表示矩阵的特征值。 二 实矩阵的若干行列式不等式及证明 命题1 对于实数域上的阶矩阵、，若他们是正定矩阵，则. 为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）： 在实数域上，对于阶矩阵、，若是正定矩阵，是对称矩阵，则存在可逆矩阵，满足是对角阵。 证明 由的正定性知，与单位矩阵合同，则有 （1） 成立，这里是实可逆矩阵。又由于是对称矩阵，则是对称阵。从而存在正交矩阵，满足 （2） 这里是的特征值，. 下令，则有 （3） 证毕。 下面证明命题1： 证明 根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵，满足 ， 这里是的特征值，且，.则 由命题（*）的（1）式知 由命题（*）的（2）式知 又因为,是正交矩阵，所以 ,且 由的正定性知，正定；又因为，那么 （4） 而 （5） 结合（4）（5）两式，得 例1 在实数域上，对于阶矩阵、，如果是正定矩阵，是半正定矩阵，则当且仅当时取等。 证明 由题设可知正定，半正定