安徽大学2012—2013学年第二学期 高等代数.docVIP

安徽大学2012—2013学年第二学期 《 高等代数 》考试试卷（A卷） （闭 卷 时间120分钟） 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 阅卷人 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、将多项式表示成的方幂，表达式为 . 2、已知复矩阵A的特征多项式为，且A在复数域上可对角化， 则A的极小多项式为. 3、设，令，则B的行列式. 4、已知线性变换在V的基下的矩阵为，则A在V的基 下的矩阵为. 5、在中定义内积为：，.则矩阵与 的夹角是. 二、计算题（每小题10分，共40分） 6、求在实数R上的典型分解式. 解 用辗转相除法求得 于是 由于有相同的不可约因式，所以有根1与-2. 再用综合除法， 1 2 -6 -8 17 6 -20 8 1 3 -3 -11 6 12 -8 1 3 -3 -11 6 12 -8 1 4 1 -10 -4 8 0 1 4 1 -10 -4 8 1 5 6 -4 -8 0 1 5 6 -4 -8 1 6 12 8 0 1 6 12 8 1 7 19 0 1 7 19 270 1 可见1是的4重根，那么-2就是的3重根，所以的典型分解式为 7、已知实对称矩阵A的特征值为1 ，2 ，3. 矩阵A属于特征值1 ，2的特征向量分别为 . (1) 求A属于特征值3的特征向量; (2) 求出矩阵A 的表达式. 解 (1) 设A 的属于特征值3的特征向量为 .由于A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交，所以有 此基础解系为. 即A的属于特征值3的全部特征向量为. (2) 令 则. 于是 8、已知复矩阵 (1) 求A的不变因子与初等因子； (2) 写A 的标准型. 解 (1) 由 可求的. 因为中有两个2级子式 互素。可知 . 于是可得A的不变因子为 . A的初等因子为. (2) A 的标准型为 9、 设实二次型，通过正交替换化为标准 型. 求参数及所用的正交替换.. 解 原二次型的矩阵为 标准型的矩阵为 它们是正交相似的，于是 将其展开得 比较的同次幂的系数可得 解得. 因此，特征值为 解出对应的特征向量为 . 单位化为. 故所求的正交替换为 . 三、证明题（每小题10分，共40分） 10、证明：(判别法) 设为整系数多项 式.若存在素数满足 (1) (2) ； (3) ， 则在有理数域Q上不可约. 证明：假设在Q上可约，即可以分解成两个次数较低的多项式乘积 ，其中. 为整系数多项式且从而有 因且P为素数，所以.又由于，所以P 只能整除中的一个，不妨设但，此外由知.令是中第一个不能被P整除的数.注意到，且，所以，但，所以，这是一个矛盾，故在Q上不可约 11、 设A 是一个n阶实对称矩阵. 证明：A是负定的当且仅当A的奇数阶顺序主子式小于0，而偶 数阶顺序主子式大于0. 证明：原命题等价于A是正定的当且仅当A的一切顺序主子式全大于0. 先证必要性 设 于是. 由于A是正定矩阵，则对不全为零的数恒有.所以为k阶正定二次型。对应的矩阵是正定矩阵，即A的所有顺序主子式全大于0. 再正充分性： 对矩阵A用数学归纳法. 当n=1时，结论成立. 假设结论对n-1时二次型成立. 记，其中 .有A的顺序主子式全大于0，即的顺序主子式也全大于0