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安徽大学2012—2013学年第二学期
《 高等代数 》考试试卷(A卷)
(闭 卷 时间120分钟)
考场登记表序号
题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 阅卷人
一、填空题(每小题4分,共20分)
1、将多项式表示成的方幂,表达式为
.
2、已知复矩阵A的特征多项式为,且A在复数域上可对角化,
则A的极小多项式为.
3、设,令,则B的行列式.
4、已知线性变换在V的基下的矩阵为,则A在V的基
下的矩阵为.
5、在中定义内积为:,.则矩阵与 的夹角是.
二、计算题(每小题10分,共40分)
6、求在实数R上的典型分解式.
解
用辗转相除法求得
于是
由于有相同的不可约因式,所以有根1与-2.
再用综合除法,
1 2 -6 -8 17 6 -20 8
1 3 -3 -11 6 12 -8 1 3 -3 -11 6 12 -8
1 4 1 -10 -4 8 0 1 4 1 -10 -4 8
1 5 6 -4 -8 0 1 5 6 -4 -8
1 6 12 8 0 1 6 12 8
1 7 19 0 1 7 19 270 1
可见1是的4重根,那么-2就是的3重根,所以的典型分解式为
7、已知实对称矩阵A的特征值为1 ,2 ,3. 矩阵A属于特征值1 ,2的特征向量分别为
.
(1) 求A属于特征值3的特征向量;
(2) 求出矩阵A 的表达式.
解 (1) 设A 的属于特征值3的特征向量为 .由于A是实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量互相正交,所以有
此基础解系为.
即A的属于特征值3的全部特征向量为.
(2) 令
则.
于是
8、已知复矩阵
(1) 求A的不变因子与初等因子;
(2) 写A 的标准型.
解 (1) 由
可求的.
因为中有两个2级子式
互素。可知
.
于是可得A的不变因子为
.
A的初等因子为.
(2) A 的标准型为
9、 设实二次型,通过正交替换化为标准
型. 求参数及所用的正交替换..
解 原二次型的矩阵为
标准型的矩阵为
它们是正交相似的,于是
将其展开得
比较的同次幂的系数可得
解得.
因此,特征值为
解出对应的特征向量为
.
单位化为.
故所求的正交替换为
.
三、证明题(每小题10分,共40分)
10、证明:(判别法) 设为整系数多项
式.若存在素数满足
(1)
(2) ;
(3) ,
则在有理数域Q上不可约.
证明:假设在Q上可约,即可以分解成两个次数较低的多项式乘积
,其中.
为整系数多项式且从而有
因且P为素数,所以.又由于,所以P 只能整除中的一个,不妨设但,此外由知.令是中第一个不能被P整除的数.注意到,且,所以,但,所以,这是一个矛盾,故在Q上不可约
11、 设A 是一个n阶实对称矩阵. 证明:A是负定的当且仅当A的奇数阶顺序主子式小于0,而偶
数阶顺序主子式大于0.
证明:原命题等价于A是正定的当且仅当A的一切顺序主子式全大于0.
先证必要性
设
于是.
由于A是正定矩阵,则对不全为零的数恒有.所以为k阶正定二次型。对应的矩阵是正定矩阵,即A的所有顺序主子式全大于0.
再正充分性:
对矩阵A用数学归纳法.
当n=1时,结论成立.
假设结论对n-1时二次型成立.
记,其中
.有A的顺序主子式全大于0,即的顺序主子式也全大于0
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