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数值线性代数习题解答 习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） ２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解] 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤： （1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下： 算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为） （2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为； （4）用回代法求解方程组：运算量为。 算法总运算量大约为： ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解] 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即， 从而 即A的LU分解是唯一的。 ６．设的定义如下 证明A有满足的三角分解。 [证明] 令 是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下 　　　　 容易验证： ７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式 证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为 其中，将A分块为 那么 即 由A的对称性，对称性则是显而易见的。 ８．设是严格对角占优阵，即A满足 又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式 试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。 [证明] 依上题的分析过程易知，题中的 于是主对角线上的元素满足 （1） 非主对角线上的元素满足 由于A是严格对角占优的，即故 从而 （2） 综合（1）和（2）得 即，矩阵仍是严格对角占优阵。 ９．设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？ [解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即 如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有 这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下： （1）用初等变换化； （2）利用回代法求解方程组。 该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为 10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为 的矩阵，证明仍是正定阵。 [证明] 不妨设 从而有 由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有 由x的任意性知，正定。 11．设 并且是非奇异的。矩阵 称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵 [证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵 使 注意到 比较两式便知，，故有 12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有 [证明] 略。 13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。 [解] 设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到 这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组 便可求得 于是 也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行： （1）用列主元Gauss消去法得到：； （2