数值分析5 LU分解法.docVIP

§3 LU分解法 ——Gauss消去法的变形 知识预备： 1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2矩阵的乘法 3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆 一、Gauss消去法的矩阵解释 Gauss消去法实质上是将矩阵A分解为两个三角矩阵相乘。 我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。 第一轮消元：相当于对A（1）左乘矩阵L1，即 其中 第二轮消元：对应于 一般地 ……………（1） 其中 整个消元过程为 ………（2） 从而 其中L是单位下三角矩阵，即 …（3） 【注】消元过程等价于A分解成LU的过程 回代过程是解上三角方程组的过程。 二、矩阵的三角分解 1、若将A分解成L?U，即A=L?U，其中L为单位下三角矩阵,U为非奇异上三角矩阵,则称之为对A的Doolittle分解。 当A的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A存在唯一的Doolittle分解。 证明：若有两种分解，A=L1U1，A=L2U2，则必有L1=L2，U1=U2。 因为L1U1=L2U2，而且L1，L2都是单位下三角矩阵，U1,U2都是可逆上三角矩阵,所以有 因此 即 L1=L2，U1=U2、 2、若L是非奇异下三角矩阵，U是单位上三角矩阵时，A存在唯一的三角分解，A=LU，称其为A的Crout分解（对应于用列变换实施消元） 三、直接分解（LU分解）算法 LU分解算法公式——按矩阵乘法 第一步：利用A中第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素。由 得 u1j=a1j ) li1=ai1/u11) 第r步:利用A中第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素（r=2，3，…，n）.由 得U的第r行元素为 由得 …………(4) 直接分解的紧凑格式： u11 u12 u13 … … u1n 1 l21 u22 u23 … … u2n 2 l31 l32 ln1 ln2 unn n 方程组的三角分解算法（LU分解） 对于方程组Ax=b，设A=LU (Doolittle分解)。 由于 1、求解Ly=b： …………………（5） 2、求解Ux=y： …（6） LU分解算法 步1，输入A，b； 步2，对j=1,2,…,n 求 对i=2,3,…,n 求 步3,对r=2,3,…,n 做（3.1）-(3.2): （3.1） （3.2） 步4， 步5， 步6，输出结束。 例子与程序： 【】 解：对系数矩阵A进行LU分解 因此 先解。 再解 程序：LU_factorization %Not Select Column LU_factorization clear all n=3;a=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];b=[3;1;-7]; %n=3;a=[1 4 7;2 5 8;3 6 11];b=[1;1;1]; %LU_factorazation for i=2:n a(i,1)=a(i,1)/a(1,1); end a for r=2:n for j=r:n s=0.; for k=1:r-1 s=s+a(r,k)*a(k,j); end a(r,j)=a(r,j)-s; end for i=r+1:n s=0.; for k=1:r-1 s=s+a(i,k)*a(k,r); end a(i,r)=(a(i,r)-s)/a(r,r); end a end %Extract Lower/Upper Triangular Part l=tril(a); for i=1:n l(i,i)=1; end u=triu(a); l u %Linear Low