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§3 LU分解法
——Gauss消去法的变形
知识预备:
1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积
2矩阵的乘法
3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积
4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆
一、Gauss消去法的矩阵解释
Gauss消去法实质上是将矩阵A分解为两个三角矩阵相乘。
我们知道,矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。
第一轮消元:相当于对A(1)左乘矩阵L1,即
其中
第二轮消元:对应于
一般地
……………(1)
其中
整个消元过程为
………(2)
从而
其中L是单位下三角矩阵,即
…(3)
【注】消元过程等价于A分解成LU的过程
回代过程是解上三角方程组的过程。
二、矩阵的三角分解
1、若将A分解成L?U,即A=L?U,其中L为单位下三角矩阵,U为非奇异上三角矩阵,则称之为对A的Doolittle分解。
当A的顺序主子式都不为零时,消元运算可进行,从而A存在唯一的Doolittle分解。
证明:若有两种分解,A=L1U1,A=L2U2,则必有L1=L2,U1=U2。
因为L1U1=L2U2,而且L1,L2都是单位下三角矩阵,U1,U2都是可逆上三角矩阵,所以有
因此
即
L1=L2,U1=U2、
2、若L是非奇异下三角矩阵,U是单位上三角矩阵时,A存在唯一的三角分解,A=LU,称其为A的Crout分解(对应于用列变换实施消元)
三、直接分解(LU分解)算法
LU分解算法公式——按矩阵乘法
第一步:利用A中第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素。由
得 u1j=a1j )
li1=ai1/u11)
第r步:利用A中第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素(r=2,3,…,n).由
得U的第r行元素为
由得
…………(4)
直接分解的紧凑格式:
u11 u12 u13 … … u1n 1
l21 u22 u23 … … u2n 2
l31 l32
ln1 ln2 unn n
方程组的三角分解算法(LU分解)
对于方程组Ax=b,设A=LU (Doolittle分解)。
由于
1、求解Ly=b:
…………………(5)
2、求解Ux=y:
…(6)
LU分解算法
步1,输入A,b;
步2,对j=1,2,…,n 求
对i=2,3,…,n 求
步3,对r=2,3,…,n 做(3.1)-(3.2):
(3.1)
(3.2)
步4,
步5,
步6,输出结束。
例子与程序:
【】
解:对系数矩阵A进行LU分解
因此
先解。
再解
程序:LU_factorization
%Not Select Column LU_factorization
clear all
n=3;a=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];b=[3;1;-7];
%n=3;a=[1 4 7;2 5 8;3 6 11];b=[1;1;1];
%LU_factorazation
for i=2:n
a(i,1)=a(i,1)/a(1,1);
end
a
for r=2:n
for j=r:n
s=0.;
for k=1:r-1
s=s+a(r,k)*a(k,j);
end
a(r,j)=a(r,j)-s;
end
for i=r+1:n
s=0.;
for k=1:r-1
s=s+a(i,k)*a(k,r);
end
a(i,r)=(a(i,r)-s)/a(r,r);
end
a
end
%Extract Lower/Upper Triangular Part
l=tril(a);
for i=1:n
l(i,i)=1;
end
u=triu(a);
l
u
%Linear Low
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