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第六章 二次型 1．设方阵与合同，与合同，证明与合同. 证：因为与合同，所以存在可逆矩，使， 因为与合同，所以存在可逆矩，使. 令 ，则可逆，于是有 即 与合同. 2．设对称，与合同，则对称 证：由对称，故. 因与合同，所以存在可逆矩阵，使，于是 即为对称矩阵. 3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使均为对角阵. 证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使 记，则显然是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使 令P=MQ，则有 同时合同对角阵. 4．设二次型，令，则二次型的秩等于. 证：方法一 将二次型f写成如下形式： 设A= 则 于是 故 = == =X(AA)X 因为为对称矩阵，所以就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然()=(A)，故二次型f的秩为(A) ． 方法二 设. 记，于是 ，其中，则 . 因为为对称矩阵，所以就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然()=(A)，故二次型f的秩为(A) ． 5．设为实对称可逆阵，为实二次型，则为正交阵可用正交变换将化成规范形. 证：设是的任意的特征值，因为是实对称可逆矩阵，所以是实数，且. 因为是实对称矩阵，故存在正交矩阵，在正交变换下，化为标准形，即 （*） 因为是正交矩阵，显然也是正交矩阵，由为对角实矩阵，故即知只能是或，这表明（*）恰为规范形. 因为为实对称可逆矩阵，故二次型的秩为. 设在正交变换下二次型化成规范形，于是 其中为的正惯性指数，. 显然是正交矩阵，由，故，且有，故是正交矩阵. 6．设为实对称阵，，则存在非零列向量，使. 证：方法一 因为为实对称阵，所以可逆矩阵，使 其中是的特征值，由，故至少存在一个特征值，使，取，则有 方法二（反证法） 若，都有，由为实对称阵，则为半正定矩阵，故与矛盾. 7．设n元实二次型，证明f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值． 解：设的特征值，则存在正交变换，使 设是中最大者，当时，有 因此 这说明在=1的条件下f的最大值不超过． 则 令，则 并且 这说明f在达到，即f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值． 8．设正定，可逆，则正定. 证：因为正定，所以存在可逆矩阵，使， 于是 ，显然为可逆矩阵，且 ，即是实对称阵，故正定. 9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+正定． 证：先证必要性 取，因为A为实对称矩阵，则 当然是正定矩阵． 再证充分性，用反证法． 若A不是可逆阵，则r（A）n，于是存在 因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有 这与AB是正定矩阵矛盾． 10．设为正定阵，则仍为正定阵. 证：因为是正定阵，故为实对称阵，且的特征值全大于零，易见全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故全是正定矩阵，为实对称阵. 对，有 即 的正定矩阵. 11．设正定，为半正定，则正定. 证：显然为实对称阵，故为实对称阵. 对，，，因，故为正定矩阵. 12．设阶实对称阵的特征值全大于0，的特征向量都是的特征向量，则正定. 证：设的特征值分别为. 由题设知. 因为是实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使 即 为的特征向量，. 由已知条件也是的特征向量，故 因此 ，这说明是的特征值，且，. 又因为 . 故 ，显然为实对称阵，因此为正定矩阵. 13．设为正定矩阵，为非零实数，记 则方阵B为正定矩阵． 证：方法一 因为是正定矩阵，故为对称矩阵，即，所以，这说明B是对称矩阵，显然 = 对任给的n维向量，因为非零实数，所以，又因为A是正定矩阵，因此有 = 即B是正定矩阵． 方法二 记 则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵， B的k阶顺序主子阵可由A的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而得到，即 计算的行列式，有 故由正定矩阵的等价命题知结论正确． 14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则.