电大（精新编版）复变函数形成性考核册参考答案—2017年度.docVIP

电大复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z1=（a, b）,Z2=(c, d),则Z1·Z2=（C） A （ac+bd, a） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R0，则N（∞，R）={ z：（D）} A |z|R B 0|z|R C R|z|+∞ D |z|R 3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D 4、若A= ，则 |A|=（C） A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题 1、若z=x+iy, w=z2=u+iv, 则v=（ 2xy ） 2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ） 3、（ 设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。 4、设z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,……)，则{zn}以zo为极限的充分必要条件是 xn=x0，且 yn=y0。 三、计算题 1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i的三角式。 解： 3、写出复数 的代数式。 解： 4、求根式 的值。 解： 四、证明题 1、证明若 ，则a2+b2=1。 证明： 而 3、证明： 证明：  第2章 解析函数 一、单项选择题 1．若f(z)= x2-y2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D） A B C D 3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C） A 仅在点z=0解析 B 无处解析 C 处处解析 D 在z=0不解析且在z≠0解析 4、若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C） A解析 B 可导 C连续 D 不连续 二、填空题 1、若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点。 2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。 3、若f(z)=z2+2z+1，则 4、若 ，则 不存在。 三、计算题： 1、设f(z)=zRe(z), 求 解： = 2、设f(z)=excosy+iexsiny,求 解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv ∴f(z)在复平面解析，且 =excosy+iexsiny 3、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2， f(i)=0,试求f(z)。 解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2 则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数) 故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时， f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0 ∴c=1 ∴f(z)=Z3+i 4、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。 解：依C-R条件有Vy=ux=2y ∴V= =y2+(x) ∴Vx= ∴(x)= V=y2-x2+2x+c(c为常数) ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c) 为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i 四、证明题 1、试在复平面讨论f(z)=iz的解析性。 解：令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0 ∵ux、uy、vx在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-