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电大(精新编版)常微分方程模拟试题及答案参考—2017年度.doc
常微分方程模拟试题
一、填空题(每小题3分,本题共15分)
1.一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线.
2.二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是
.
3.方程的基本解组是 .
4.一个不可延展解的存在在区间一定是 区间.
5.方程的常数解是 .
二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
6.方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).
(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y轴外的全平面
7. 方程( )奇解.
(A)有一个 (B)有两个 (C)无 (D)有无数个
8.连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件.
(A)必要 (B)充分 (C)充分必要 (D)必要非充分
9.二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
10.方程过点(0, 0)有( B ).
(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解
三、计算题(每小题6分,本题共30分)
求下列方程的通解或通积分:
11.
12.
13.
14.
15.
四、计算题(每小题10分,本题共20分)
16.求方程的通解.
17.求下列方程组的通解.
五、证明题(每小题10分,本题共20分)
18.设在上连续,且,求证:方程
的一切解,均有.
19.在方程中,在上连续,求证:若恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数.
常微分方程模拟试题参考答案
一、填空题(每小题3分,本题共15分)
1.2 2.线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)
3. 4.开 5.
二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
6.D 7.C 8.B 9.C 10.A
三、计算题(每小题6分,本题共30分)
11.解: 为常数解 (1分)
当,时,分离变量取不定积分,得
(3分)
通积分为
(6分)
注:包含在常数解中,当时就是常数解,因此常数解可以不专门列出。
13.解: 方程两端同乘以,得
(1分)
令 ,则,代入上式,得
(3分)
这是一阶线形微分方程,对应一阶线形齐次方程的通解为
(4分)
利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为
(5分)
因此原方程通解为
(6分)
14.解: 因为,所以原方程是全微分方程. (2分)
取,原方程的通积分为
(4分)
计算得
(6分)
15.解: 原方程是克莱洛方程,通解为
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