第四章 数学规划模型.doc

第四章 数学规划模型 【教学目的】：深刻理解线性规划，非线性规划，动态规划方法建模的基本特点，并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型；熟练掌握用数学软件（Matlab，Lindo，Lingo等）求解优化问题的方法。 【教学重点难点】： 教学重点：线性规划和非线性规划的基本概念和算法，解决数学规划问题的一般思路和方法，线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab与Lingo实现。 教学难点：区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题，以及何时采用线性模型，何时采用非线性模型，线性模型与非线性模型的转化。 【课时安排】：10学时 【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】： 在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x的取值是受限制的，不妨记为，称为可行域，优化问题的数学模型可表示为 Max(或Min)f(x), 一般情况下，x是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为 . 虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。 根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。 4.1线性规划 线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的，它在工农业生产、经济管理、优化设计与控制等领域都有广泛应用。如资源分配问题、生产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动力安排问题、最优设计问题等等。线性规划模型的求解方法目前仍以单纯形法为主要方法，该方法于1947年由美国数学家丹茨格（G.B.Dantzig）提出，经过60多年的发展完善，已经形成比较成熟的算法，同时配合计算机技术的广泛应用使得该方法得到空前的普及应用。目前，大多数数学软件都可以求解一般线性规划模型，这一节主要采用Matlab和Lindo软件。 4.1.1奶制品的生产与销售 例1 加工奶制品的生产计划 【问题描述】一奶制品加工厂用牛奶生产，两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤．根据市场需求，生产的，全部能售出，且每公斤获利24元，每公斤获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： 1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元? 3)由于市场需求变化，每公斤的获利增加到30元，应否改变生产计划? 【问题分析】这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产，用多少桶牛奶生产 (也可以是每天生产多少公斤，多少公斤)，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。 【模型假设】1) ，两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出，的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数； 2) ，每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出，的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数； 3)加工，的牛奶的桶数可以是任意实数． 【模型建立】设每天用桶牛奶生产，用桶牛奶生产． 设每天获利为z元．桶牛奶可生产3公斤，获利 243，桶牛奶可生产4公斤，获利164，故目标函数为：z=72+64． 由题目可以得到如下约束条件： 原料供应： 生产，的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即+≤50桶； 劳动时间： 生产，的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12+8≤480小时； 设备能力： 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即3≤100； 非负约束： +均不能为负值，即≥0，≥0． 综上可得该问题的数学模型为： 由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划(LinearProgramming，简记作LP)。 【模型求解】(图解法)：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规