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概率论与数理统计第7讲 本讲义可在网址 或 下载 例4 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为X, 则X~b(400, 0.02). X的分布律为 注: 有时利用对立事件求概率比直接求更简便. 例5 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法. 以X记第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数, 以Ai(i=1,2,3,4)表示第i人维护20台中发生故障不能及时维修, 则知80台中发生故障不能及时维修的概率为 P(A1?A2?A3?A4)?P(A1)=P{X?2}.而X~b(20,0.01), 故有 P(A1?A2?A3?A4)?0.0169按第二种办法. 以Y记80台中同一时刻发生故障的台数. 此时, Y~b(80,0.01), 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为 5. 几何分布在独立重复试验中, 事件A发生的概率为p, 设X为直到A发生为止所进行的次数, 显然X的可能取值是全体自然数, 且由伯努利定理知其分布为 P{X=k}=(1-p)k-1p, 0p1, k?1 (2.3)定义6 若一随机变量X的概率分布由(2.3)给出, 则称X服从参数为p的几何分布. P{X=k}=(1-p)k-1p, 0p1, k?1 (2.3)定义6 若一随机变量X的概率分布由(2.3)给出, 则称X服从参数为p的几何分布.令q=1-p易见 几何分布具有下列无记忆性: P{Xm+n|Xm}=P{Xn},m,n?N (2.4)事实上, 因为 P{Xm+n|Xm}=P{Xn},m,n?N (2.4)注: 所谓无记忆性, 意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.进一步还可以证明: 一个取自然数值的随机变量, 如果具有(2.4)式表达的无记忆性, 则X一定服从几何分布, 故无记忆是几何分布的一个特性. 例6 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p, 求所需射击发数X的概率分布. 6. 超几何分布引例 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球(N=N1+N2), 从中不放回地抽取n(1?n?N)个球, 设X表示取到白球的数目, 则根据古典概型易算得X的分布 定义7 若一随机变量X的概率分布由(2.5)给出, 则称X服从超几何分布. 在实际应用中, 如果是放回抽样, 则服从二项分布. 而不放回抽样服从超几何分布. 但是当N, N1和N2都很大的时候, 超几何分布近似服从二项分布. 7. 泊松分布定义8 若一个随机变量X的概率分布为 易见, (1) P{X=k}?0, k=0,1,2,?,(2) 泊松分布的图形 注: 历史上, 泊松分布是作为二项分布的近似, 于1837年由法国数学家泊松引入的. 泊松分布是概率论中最重要的分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 泊松分布概率值可查附表. 泊松分布产生的一般条件:在自然界和现实生活中, 常遇到在随机时刻出现的某种事件. 把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流. 若随机事件流具有平稳性, 无后效性, 普通性, 则称该事件为泊松事件流(泊松流). 这里, 平稳性—在任意时间区间内, 事件发生k次(k?0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关;无后效性—在不相重叠的时间段内, 事件的发生相互独立;普通性—如果时间区间充分小, 事件出现两次或两次以上的概率可以忽略不计.对泊松流, 在任意时间间隔(0,t)内, 事件发生的次数服从参数为lt的泊松分布. l称为泊松流的强度. 例如, 下列事件都可视为泊松流:某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数;到某机场降落的飞机数;某售票窗口接待的顾客数;一纺绽在某一时段内发生断头的次数;一段时间间隔内某放射物放射的粒子数;一段时间间隔内某容器内的细菌数, 等等. 例7 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数l=0.8的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.解 由概率的性质及(2.5)式, 得 8. 二项分布的泊松近似给出另一个近似公式, 如果有两个正数a与b, a特别小, b特别大, ab则适中, 则有近似公式 (1-a)b?e-ab这是因为 假设X~b(n,p), 而n特别大, p特别小, np适中, 则由前面的近似公式 定理1(泊松定理) 在n重伯努利