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概率论与数理统计第21讲 本讲义可在网址 下载 §6.3 置信区间 点估计仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有给出这个近似值的误差范围.若能给出一个估计区间, 让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信未知参数的真值被含在这个区间内, 这样的估计显然更有实用价值.本节将引入的另一类估计即为区间估计, 在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它是奈曼(Neymann)于1934年提出的. 一, 置信区间的概念定义1 设q为总体分布的未知参数, X1,X2,…,Xn是取知总体X的一个样本, 对给定的数1-a(0a1), 若存在统计量 q=q(X1,X2,…,Xn), ?q =?q (X1,X2,…,Xn).使得 P{ q q ?q}=1-a. (3.1)则称随机区间(q,?q )为q的1-a双侧置信区间, 称1-a为置信度, 又分别称q与?q 为q的双侧置信下限与双侧置信上限. 注: ①置信度1-a的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本X1,X2,…,Xn的多个样本值x1,x2,…,xn, 对应每个样本值都确定了一个置信区间(q,?q ), 每个这样的区间要么包含了q的真值, 要么不包含q的真值. 根据大数定理, 这些区间中包含真值的频率接近置信度1-a.②置信区间(q,?q )也是对未知参数q的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计 ③置信度与估计精度是一对矛盾. 置信度1-a越大, 置信区间(q,?q )包含q的概率就越大, 但区间(q,?q )的长度就越大, 对未知参数q的估计精度就越差. 反之, 对参数q的估计精度越高, 置信区间(q,?q )长度就越小, (q,?q )包含q的真值的概率就越低, 置信度1-a越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度. 式子 由 这样的置信区间常写成 再者, 若由一个样本值算得样本均值的观察值?x=5.20, 则我们得到一个置信水平为0.95的置信区间 (5.20?0.49), 即 (4.71, 5.69)注意, 这已经不是随机区间了. 但我们仍称它为置信水平为0.95的置信区间, 是指的这个区间包含m的可信程度为95%. 例2 设总体X~N(m,8), m为未知参数, X1,…,X36是取自总体X的简单随机样本, 如果以区间(?X-1, ?X+1)作为m的置信区间, 那么置信度是多少?解 二, 寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上, 构造合适的含样本及待估参数的函数U, 且已知U的分布. 再针对给定的置信度导出置信区间. (4) 对不等式l1?U?l2作恒等变形后化为 P{ q ? q ??q }=1-a, (3.5)则( q,?q )就是q的置信度为1-a的双侧置信区间. 三, (0-1)分布参数的置信区间考虑(0-1)分布情形, 设其总体X的分布率为 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p, (0p1),现求p的置信度为1-a的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p),设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本, 当n充分大时, 样本均值?X可作为p的点估计, 且近似有 ?X~N(p, p(1-p)/n) ?X~N(p, p(1-p)/n)给定置信度1-a, 则有 经不等式变形得 P{ap2+bp+c0}?1-a,其中 四, 单侧置信区间前面讨论的置信区间(q,?q)称为双侧置信区间, 但在有些实际问题中只要考虑选取满足P{u?l1}=a或P{u?l2}=a的l1或l2, 对不等式作恒等变形后化为 P{q ?q}=1-a或P{q ??q}=1-a (3.9)从而得到形如(q, +?)或(-?,?q}的置信区间. 例如, 对产品设备, 电子元件等来说, 我们关心的是平均寿命的置信下限, 而在讨论产品的废品率时, 我们感兴趣的是其置信上限. 于是我们引入单侧置信区间. 定义2 设q为总体分布的未知参数, X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本, 对给定的数1-a(0a1), 若存在统计量 q=q(X1,X2,…,Xn),满足 P{qq}=1-a.则称(q, +?)为q的置信度为1-a的单侧置信区间, 称q为q的单侧置信下限; 若存在统计量 ?q =?q(X1,X2,…,Xn),满足 P{q ?q}=1-a.则称(-?,?q)为q的置信度为1-a的单侧置信区间, 称?q为q的单侧置信上限. 例5 从一批灯泡中随机地抽取5只作寿命试验, 其寿命如下(单位:h) 1050 1100 1120 1250 1280已知这批灯泡寿命X~N(m,s2), 求