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平面波衍射的非傍轴修正 杨俊 指导老师：王飞 课题意义 衍射问题是物理学上的一个基本问题，平面波圆孔衍射是其中的最基本的一种衍射。 在一定条件下，当光束的傍轴特性较差时，传统的傍轴衍射理论不再成立。 本文重点及思路 根据索末菲边界条件假设得到平面波圆孔衍射的精确解，并在此基础上得到各级修正解。 通过数值作图，对精确解与各级修正解做比较，尤其是在精确解与零级近似解即傍轴解之间进行比较，从而得出本文结论：一定条件下的傍轴近似的有效性及非傍轴近似的必要性。 理论基础 衍射理论 1 第一类瑞利—索末菲衍射边界条件 （1） 在孔面上，光场U的分布与无屏幕时完全相同 （2） 在面的屏幕几何阴影之内，光场U的值为0 2 角谱衍射理论 其傅里叶变换 称为光场U（x，y，0）的角谱 精确解及各级修正解的推导 依据第一类瑞利-索末菲边界条件，可得 而 则 其中 为一阶贝塞尔函数 且 ， 根据角谱衍射理论 令 则 在z=0附近的Taylor展开式为 1 从而得到零级、二级、四级近似解（修正解） 二级近似解 四级近似解 图像分析 以 为自变量，利用Mat lab数值计算软件， 计算出Z观察面上的衍射场精确值 与零级近似 及二级近似 和四级近似解 的值，并做比较  图例1 在此图中，傍轴解即零级近似解误差较大，以此表明傍轴理论在一定条件下会失效及非傍轴近似的必要性。 图例2 在此图中，傍轴解与精确解相差很小，表明一定条件下傍轴近似理论的有效性。 结论 以以上两图为代表的数值图像说明：在某些情况下傍轴近似是有效的，而在一定的条件下傍轴解误差较大，傍轴理论失效，以此表明非傍轴修正的必要性。 致谢 本文是在王飞老师的淳淳教导下完成的，在此感谢王老师以及电物学院各位老师的支持与帮助。 各位老师治学严谨、待人诚恳，他们认真的科学态度、高尚的人格都值得我学习的榜样。 附录1 各图的Matlab输入代码 图1对应的Matlab输入代码： x=4:0.04:10;p0=4;z0=15; hold on plot(x,yanshe (x, p0, z0),b ) ; plot(x,yanshe0 (x, p0, z0),m : ) ; plot(x,yanshe2 (x, p0, z0),r-. ) ; plot(x,yanshe4 (x, p0, z0),‘k--’ ) ; 其他各图对应的Matlab输入代码只需相应的修改x，p0，z0的数值即可。  附录2 需要建立的m文件 1: yanshefun0.m function f0=yanshefun0(x,s,p0,z0) f0= 2*pi*p0 .*exp(1i*2*pi*z0) .*besselj(0,2*pi.*x.*s) .*besselj(1i*2*pi*p0*s) .*exp(-1i*pi*z0*s.^2); 2: yanshe0.m function P=yanshe0(x,p0,z0) m=length(x); p=zeros(1,m); for n=1:m p(n)= quadgk(@(s)yanshefun0(x(n),s,p0,z0),0,1); end P=abs(p); 3: yanshefun2.m function f2=yanshefun2(x,s,p0,z0) f2