群的不可约表示群的不可约表示.doc

群的不可约表示 建立了二维幺正幺模矩阵与欧勒角的关系后，本节将给出SU(2)群的不可约表示. SU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵 , . 设二维空间的基元为, 是与U相联系的变换算符，则 亦即 (1) 容易证明 (2) 为了将SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数相联系，通常将其取成 (3) 选择满足下列条件 (4) 亦即 (5) 下面将证明，若取 (6) (4)式或(5)式成立, 因为若将(6)代入(5)式得 令 ，则上式变为： 因此（4）或（5）式得以证明. 由于为SU(2)群的表示空间的基矢，所以有： （7） 其中就是SU(2)群的表示矩阵。 而由(1)与(3)两式知： 由二项式定理 则上式变为： . 令，当时，，当时，， 则上式可变 写成对与的求和，得： 则上式与（7）式比较知： （8） 下面来讨论一下，表示的一些性质. (1) 由于 共个取值，所以是维的. (2) 表示是幺正的. 由(4)与(7)得： 亦即 因此 或 ， 故 （9） 所以表示是幺正的. (3) 是不可约的. 由舒尔引理1知，如果矩阵M与所有的都对易，则当M为常数矩阵时，就是不可约表示. 为此我们求出两种特殊情况下的矩阵. 取，，则由（8）式知，只有当且时才不等于零，因此得： （10） 其次在(8)式中，令，则只有当，才不为零，所以 （11） 如果M与(10)式所示的对易， 则由于(10)式的是一非常数对角矩阵，所以M也应是一对角矩阵，即： （12） 进一步，若M还与(11)式形式的矩阵对易，即：，或写成矩阵元的形式 由(12)式，上式变为： 由于矩阵元不恒等于零，所以，即M为一常数矩阵，所以 （13） 因此是一不可约表示. (4) （14） 在(8)式中作代换，上式就可以得到证明. 前面已经谈到，SO(3)与 SU(2)同态，即对SO(3)群的每一元素R，都有SU(2)中的两个元素与之对应. 反过来，SU(2)中的每一个元素，亦与SO(3)群的每一元素相对应. 这样SU(2)群的每一个表示亦是SO(3)群的表示. 当取整数时，由(14)式知，，这时将给出SO(3)群的单值表示，而这时SO(3)群将只有或一个表示，但当取半奇数时，由于，所以这时将给出SO(3)群的双值表示，即这时SO(3)群将有两个表示. §5.4 旋转群SO(3)的不可约表示 上节我们得到了SU(2)的不可约表示，由于SU(2)与SO(3)群同态，所以SU(2)的表示也是SO(3)群的表示. 这节我们将给出以欧勒角为群参数的SO(3)的表示. SU(2)的群元素为 取凯莱－克莱因参数，则 ， （1） 这样，就与相对应. 因此，只要将的不可约表示矩阵中的与按(1)式换成，就可得到的表示矩阵. 完成这种代换得： (2) 下面我们给出几种简单情况下，的具体表达式. (1) 当时，(2)式中仅有的项不为零. 所以这时 （3） （2）当时，(2)式仅有项不为零，所以这时 （4） (3) 当时，（2）式中，所以 （5） (4) 当时 如按照(2)式： （5） 当时，其表示矩阵为 如按照(2)式 三维旋转群SO(3)的自身表示与不可约表示是等价，即 （8） 其中 （9） 例如，若在（7）式中取，则得： 则