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东北师大附中2011----2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案070 推理与证明 编写教师：薛玉财 审稿教师：高长玉 一、知识梳理 （一）推理： 1. 推理一般包括 合情 推理和 演绎 推理； 2.合情推理包括 归纳推理 和 类比推理 ； （1）归纳推理：从个别事实中推演出 一般结论 ，这样的推理通常称为归纳推理； 归纳推理的思维过程是由 特殊 到 一般 . （2）类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 相似 或 相同 ，这样的推理称为类比推理. 类比推理的思维过程由 一般 到 特殊 . 3.演绎推理：演绎推理是 从一般性的原理出发 ，按照严格的逻辑法则得到 特殊情况下的结论 的推理过程；三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P；其中①是 大前提 它提供了一个一般性原理；②是小前提 ，它指出了一个个特殊对象；③是 结论 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断. （二）证明： 1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明； 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法 ⑴ 综合法 —— 从已知条件出发利用已有的性质或定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题 ——从 结论 出发，逐步寻找结论成立的 充分 条件，直到与已知一致 2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 假设结论不成立 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）. 二、题型探究 归纳推理考察 例1 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ________________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明. 解：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确。） 类比推理考察 例2 在△中，若∠=90°，，则△的外接圆的半径 ，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 解：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体，且，则此三棱锥的外接球的半径是 演绎推理考察 例3 有一段演绎推理是：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线不在平面内，直线在平面内，直线∥平面，则直线∥直线”，结论显然是错误的，这是因为 （ A ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 综合法证明考察 例4 证明：． 证明：因为，所以， 所以， 同理，，， 三式相加得． 分析法证明考察 例5 △的三个内角成等差数列，求证：. 证明：要证，即需证。 即证。 又需证，需证 ∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理，有，即。 ∴成立，命题得证。 三、归纳总结 （1）高考强调对数学思维能力的考查，“合情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础. （2）逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材. 四、课时作业 （一）选择题： 1．在某次考试中甲、乙、丙三人成绩互不相等，且满足：①如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；②如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高，则三人中成绩最低的是（ C ） （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）不能确定 2．一个正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是（ A ） （A） （B） （C） （D） 3．下面使用类比推理得出的结论正确的是（C） （A）“若则”类推出“若，则 （B）“若”类推出“” （C）“若”类推出“” （D）“”类推出“ 4．给出下面四个类比结论： ①实数若则或；类比向量若，则或 ②实数有类比向量有 ③向量，有；类比复数，有 ④实数有，则；类比复数，有，则 其中类比结论正确的命题个数为（　B　） （A）0 （B）1 （C）