二、 线性疏矩阵方程的直接解.ppt

二线性稀疏矩阵方程的求解 主要内容 高斯消去法 直接解法 一、高斯消去法 1、按列消元按行回代的算法 求解的具体步骤如下： （1）若a11≠0，由（2－1）第1式解出 x1=[b1-(a12x2+…+a1nxn)]/a11 (2)若a22(1)≠0，由（2－3）第2式解出 由此只要 ,消元过程就可继续，在作完第k步消元后，原方程组将变为 由于 与 的算法相同，若把 记为 ，在利用公式（2－5）时可把列标 j 一直取到n+1。 以求取 经过n-1次消元，最后得到的方程为。 消元的结果是把原方程组（2－1）演化成系数矩阵呈上三角形的方程组 （2－6）。这两组方程组有同解 。 按列消元对应于网络变换时的消去节点，物理概念清晰 例2－1 按列消元按行回代的高斯消去法 按列消去 2．按行消元并进行规格化的算法 电力系统计算中，高斯消去法的另一种常用计算格式是按行消元逐行规格化的算法。 具体做法如下： （2）对方程组（2－1）中的第2式作运算。首先进行消元，用-a21乘（2－9）全式，再同式（2－1）的第2式相加，便得到 ： 消元过程逐行进行。对原方程组（2－1）中的第i个方程式的演算包括，先作i-1次消元，利用已完成消元和规格化处理的i-1个方程式依次消去 ,然后作一次规格化计算，使 的系数变为1。以k代表消元次数，逐次消元计算通式为 ： 一般，经过i-1步按行消去运算，增广矩阵变成 按照上述步骤，对方程组（2－1）的全部方程式作完消元和规格化演算，便得到了以下的方程组 利用方程组 （2－12）,通过回代计算，即可求得全部的未知变量，其计算通式为 例2－2 按行消元逐行规格化的高斯消去法 S1. 规格化第一行 最后得到： 其中，依次取1/2，3，2/5，5，-23/2，-1/12为运算因子。 由后向前取虚线上三角中元素进行回代运算 因子表 二、三角分解法1、将非奇异方阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R的乘积 用 左乘式（2－2）的两端，将结果展开便得到方程组 (2－3） 以后的每一步消元都是对上次变换所得的结果再作一次初等变换。所用的变换矩阵都是单列单位下三角矩阵，第k步消元所用的矩阵为 依次作完n-1次变换后，便得到方程组 (2－6)。若将方程组 (2－6）的系数矩阵记为R，则其元素为 非奇方阵A被表示为矩阵L和R的乘积，这两个三角矩阵称为A的因子矩阵. 利用公式 (2－5）和 (2－7），可确定两个因子矩阵的元素计算公式： 将A=LR代入线性方程组(2－2），便得LRX=B.这个方程又可以分解为以下两个方程 这两组方程式的系数矩阵都是三角形矩阵，求解极为方便。先由方程组（2－20）自上而下地依次算出 其计算通式为 例2－3 三角分解法(LR) 利用DOLITTLE分解 三角分解后，求解过程如下： 2、将非奇方阵A分解为单位下三角矩阵L、对角线矩阵D和单位上三角矩阵U的乘积 如果A非奇，则上三角矩阵R的对角线元素都不等于零。矩阵R又可分解为对角线矩阵D和单位上三角矩阵U的乘积，即R=DU，或展开写成 这样便得 A=LDU 利用公式（2－19），计及式（2－23），可得因子矩阵的元素表达式如下 例2－4 三角分解法(LDU) 利用DOLITTLE分解 将式（2－25）代入式（2－2），可得 LDUX=B 由此可得 方程组UX=H展开后即是式（2－12） 若A为对称矩阵，则应有： 3、将非奇方阵A分解为下三角矩阵C和单位上三角矩阵U的乘积 利用公式（2－26），计及式（2－32），可得因子矩阵的元素表达式如下 例2－5 三角分解法(CROUT) 利用CROUT分解(2-34) 对比按行消元逐行规格化的高斯消去法因子表： 三角分解后，求解过程如下： 4、因子表及其应用 网络方程需要求解多次，每次只是改变方程右端的常数向量B，使用的系数矩阵A相同 对线性方程组的系数矩阵A进行三角分解，所得的下三角矩阵用于消元运算，而上三角因子矩阵则用于回代运算。 对于需要多次求解的方程组，可以把三角形因子矩阵的元素以适当的形式贮存起来以备反复应用。 不同的形成因子表方法，对应求解过程（公式）有所不同。 对矩阵A，作三种因子分解时的因子矩阵元素 以按行消元逐行规格化的算法为例，这种算法需要保留矩阵C和U的