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数 值 分 析 Numerical Analysis 机械与汽车工程学院 主讲人：孔胜利 kongsl@spu.edu.cn 2012-09-01 教材 (Text Book) 数值分析（第4版） 李庆扬 王能超 易大义 清华大学出版社 工程数值分析 王立秋 魏焕彩 周学圣 山东大学出版社 Introduction to Numerical Analysis (Second Edition) J. Stoer, R. Bulirsch Springer-Verlag Matlab与数值分析 Fortran编程 数值分析商业软件 MATLAB 数值分析商业软件 MAPLE 数值分析商业软件 MATHEMATICA 课程主要内容 第1章 绪论 第2章　插值法 第3章　函数逼近与曲线拟合 第4章　数值积分与数值微分 第5章　解线性方程组的直接法 第6章　解线性方程组的迭代法 第7章 非线性方程求根 第8章　常微分方程初值问题解法 第1章 绪论 数值分析的研究对象与特点 误差基础知识 误差分析 1.1 数值分析的对象与特点 数值分析：用计算机求解实际问题的数值计算方法和理论。 数值分析的特点： 1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证 收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。 3. 要有好的计算复杂性。 4. 要经过数值实验的验证。 数值分析的对象与特点 算法：用计算机解决数学问题而构造的能用数值计算的实施方案，其 主要特点有： 1. 必须是构造性的；（反证法） 2. 必须是能通过数值演算的方法；（图解法） 3. 必须是一种实施方案。 课程学习的方法： 1. 掌握方法的基本原理与思想， 2. 通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题， 3. 一定数量的理论分析与计算练习。 1.2 误差基础知识 误差的来源： 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差或截断误差 /* Truncation Error */ 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 截断误差 高等数学中有许多运算，如求极限、求导数、求定积分、求级数的和 等等都是无限的运算，而在计算机上运算时，只能作有限次的运算。 例如，已知指数函数的泰勒级数为 实际计算x=x0处的函数值时，只能取展开式的前n+1项，即 其截断误差为泰勒公式的余项 舍入误差 无理数可表示为无限不循环小数，有些分数可表示为无限循环小数。 在实际计算中只能取有限位，而取有限位的方法不是截断，而是用舍 入的方法取近似值。 例如：用四舍五入法取π的小数点后四位的近似值为 而小数点后取两位则为 其它如：自然对数e、开方、三角函数等。 误差的基本概念 绝对误差 其中：x为精确值，x*为近似值 绝对误差限 若 ，则称x的近似数x*的绝对误差限为 即 相对误差 相对误差限 若 ，则称 为近似数的相对误差限 注意：绝对误差限是有量纲的，而相对误差限是无量纲的。 1.3 误差分析 有效数字 若x的近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的左面第一 位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。也就是说，如果近似数 x*满足 则用x*近似表示x时，精确到小数之后的第k位。 由此可知：用四舍五入法取精确值的前n位x*（不含左边的零）作为 近似值，则x*有n位有效数字。 误差估计 两个近似数x1*和x2* ，其误差限分别为ε(x1*)和ε(x2*) ，它们进 行加减乘除运算得到的误差限分别为 和差的误差估计 乘积的误差估计 商的误差估计 更一般的情况是，当自变量有误差时计算函数值也产生误差，其误差限可利 用函数的泰勒展开式进行估计。 设 是一元函数，x的近似值是x*，以 近似 ，其误差界记作 ，则函数的误差限 当 为多元函数 时，其近似值为 ，则 其误差为 算法的稳定性 构造算法中应注意的问题： 算法的优劣；计算量的大小；存储量的多少；逻辑结