[数值分析15分段低次插值.ppt

第五节 分段低次插值 一、分段线性插值多项式 二.分段二次插值与分段三次插值 三.分段三次Hermite插值 四、分段低次插值的收敛性 * 数值分析 数值分析 * 我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在我们来讨论一下这个问题。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi (i=0，1，2， …，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点. 例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子: 龙格(Runge)现象 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 插值多项式情况，见图:取n=6和n=10 从图中可见， P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地逼近f(x),而在其余位置, P10(x)与f(x)的值相差很大,越靠近 端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象. chzh00.m 如 P6(0.96)=0.4233 P10(0.96)=1.80438 f(0.96)=0.0416 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。 数值稳定性 从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因此实际应用中常采用分段低次插值。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值 （3）分段Hermite插值 (4) 分段三次样条插值 因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是线性插值多项式; (2) ?(xi )= yi , i=0,1,2,…,n (3) ?(x)在区间[a , b]上连续; 则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。 1.问