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第十八章 极值与条件极值 第一节 极值与最小二乘法 第二节 条件极值与拉格朗日乘数法 内容小节 习题 补充题 作业 P102:2.4.6 * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 若函数 时, 具有极值 则: 1) 当 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 时取极小值; 时取极大值; Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点，偏导数不存在的点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值 为最小 值 (大) (大) 依据 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1. 求 满足约束条件 的最大值。 解：作拉格朗日函数： 令 即，稳定点： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由实际问题知所求最大值必存在，而稳定点又唯一，