[数学物理方程第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结1.ppt

叠加原理III 叠加原理IV 数学物理方程 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 §1 二阶线性偏微分方程的分类 第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结 §3 三类方程的比较 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深入的分类和总结。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §1.1 两个自变量的方程 §1 二阶线性偏微分方程的分类 §1.2 两个自变量的二阶线性 偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §1 二阶线性偏微分方程的分类 遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题。 前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状 §1-1 两个自变量的方程 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。 方程(4.1)的二阶导数项 称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。 §1-1 两个自变量的方程 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。为此我们作下面的自变量变换 在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆的，也就是存在逆变换 也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为 运用复合函数的求导法则 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程 的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1 (x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数 。 这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种选取的可能性。 §1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.