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第四章方程组的直接解法 4.2 直接三角分解法 4.2.3 平方根法 4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 4.2.2 三对角方程组的追赶法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4.2 直接三角分解法 4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 　　本节讨论矩阵A的三角分解法的直接计算以及直接利用A的三角分解式来求解方程组。 1.不选主元的三角分解法 　　设A=LU，记 　　其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。我们可直接给出L和U的元素的计算公式。 　　由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即 （4.2.1） （4.2.2） 如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 可得U的第k行元素 同理，由 ukj =akj - ,j =k,k+1, ···,n。 （4.2.3） akj = ,i=k+1,k+2,···,n, 可得L的第k列元素 　　交替使用（4.2.3）和 （4.2.4），就能逐次计算出U（按行）和L（按列）的全部元素，而且可以把它们存放在矩阵A对应的位置上（L的对角线元素不必存放）。这就完成了A的LU分解。 lik=(aik - )/ ukk ,i =k+1,k+2, ···,n。 　　由（4.2.1）- （4.2.4）求得L和U后，解方程组Ax=b接化接为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1 ，x2， ··· xn) T, y=（y1, y2, ··· yn) T,b= （b1 ，b2， ··· bn) T, 则有计算公式 （4.2.5） （4.2.6） 　　以上解方程组的计算与顺序Gauss消去法相当。如果有一系列方程组，其系数距阵都是相同的，右端向量b不同，则只须进行一次LU分解计算。上述解方程的方法称为LU分解法，也称Doolittle方法。 例4.5 用LU分解法求解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 由（4.2.1）-（ 4.2.4 ）计算可得 由（4.2.5）计算得 由（4.2.6）计算得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.列选主元的三角分解法 　　设从A=A （1）开始已完成k-1步分解计算，U的元素（按行）和L的元素（按列）存放在A的位置，得到 ～ 该矩阵与顺序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储方式的形式称为紧凑形式。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 当i=k时， si对应于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。当i=k+1,k=2,….n， si对应于（4.2.4）中