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12 第四章 矩阵的特征值 第一节 矩阵的特征值与特征向量 第二节 相似矩阵与对角化 第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量 第一节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 例1 例2 例3 例4 例5 二、特征值和特征向量的性质 例6 三、小结 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义 成立, (1) 设A为n阶矩阵,如果存在数λ和n维非 零向量x,使 Ax= λx 那么称数λ为矩阵A的特征值,而称向量x为 矩阵A属于特征值λ的特征向量. 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 说明 1. 特征向量x≠0,特征向量是方阵A属于特征值λ 2. n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组 (A-λE)x=0有非零解的λ值,即满足方程| A-λE|=0 的λ值均是矩阵A的特征值. 的向量. 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 的特征方程. 是以λ为未知数 的一元n次方程, 称| A-λE|=0为A 记f(λ)=| A-λE|,它是λ 的n次多项式, 称其为方阵 A特征多项式 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4. n阶方阵 A=(aij)的特征值λ1, λ2,…, λn又称矩阵A 的特征根.若λ0是特征方程的k重特征根, 则称λ 方阵A的k重特征根 特征值与特征向量的求法 1.求方阵 A=(aij)的特征方程| A-λE|=0的值λ1, λ2,…,λn 2.对于方阵 A=(aij)的特征值λ0,求属于该特征值 的特征向量 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 A的特征多项式 得A的特征值 λ1=-2, λ2=4 当λ1=-2时,有(A+2E)x=0,即 求A的特征值与特征向量.其中 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解之得, 5x1=-x2. 矩阵A属于λ1=-2的全部特征向量 k1(1,-5)T 于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T 当λ2=4时,有(A-4E)x=0,即 解之得, x1=x2. 矩阵A属于λ2=4的全部特征向量 k2(1,1)T 于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 A的特征多项式 得A的特征值 λ1=2, λ2= λ3=1 当λ1=2时,有(A-2E)x=0 求A的特征值与特征向量.其中 方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd