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论文四：数列的题型与方法 东城：闻锋 考点回顾 1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。 (2)通项公式法： ①若，则为等差数列； ②若，则为等比数列。 ③中项公式法：验证都成立。 3.在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当,d＜0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当,d＞0时，满足的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。 5.数列的综合应用： ⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。 6．注意事项： ⑴证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明或而得。 ⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。 ⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意与之间关系的转化。如： =，=． ⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路． ⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略． ⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力． ７．知识网络 经典例题剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 全国各地名校精题1. （1）数列{an}和{bn}满足 （n=1，2，3…）， （1）求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。 （2）数列{an}和{cn}满足，探究为等差数列的充分必要条件。[提示：设数列{bn}为 分析：本题第（1）问的充要条件的解决可以分别设出等比、等差数列的通项；对探究问题我们通常采用的是先假设再论证。 证明：（1）必要性 若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d 则 ∵ ∴{an}为是公差为的等差数列 充分性 若{an}为等差数列，设首项a1，公差d 则 ∴ 当n=1时，b1=a1也适合 ∵bn+1－bn=2d， ∴{bn}是公差为2d的等差数列 （2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1 其中 （n=1，2，3…） 点评：本题考查了等差、等比数列的基本知识，但解决起来有一定的难度，同时还需要对问题进一步深入下去。 全国各地名校精题2.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值； （3）当a0时，求数列的最小项。 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。 解：（1）∵ ∴ 　　　(n≥2) 由得，， ∵，∴ ， 即从第2项起是以2为公比的等比数列。 （2） 当n≥2时， ∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。 （3）由（1）知当时，， 所以， 所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。 当时，最小项为8a-1； 当时，最小项为4a或8a-1； 当时，最小项为4a； 当时，最小项为4a或2a+1； 当时，最小项为2a+1。 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 考点二：求数列的通项与求和 全国各地名校精题3. 已知数列中各项为： 12、1122、111222、……、 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 解：（1） 记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 (2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观