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离散数学第20讲 回顾上节课基本知识点： 1、二元运算的定义及其性质 2、代数系统 离散数学第20讲 1、半群、独异点、群的定义。 2、相关的性质、运算和判定方法。 第十一章 半群与群 11.1 半群与独异点—具有一个二元运算的代数系统 定义11.1 (1) 设V=S,。是代数系统，。为二元运算，如果。是可结合的，则称V为半群。 (2) 设V=S,。是半群，若e ∈S是关于。运算的单位元，则称V是幺半群，也叫独异点。有时记作S, 。,e。 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 半群的幂运算 对于半群V=S,。中，?x∈S，规定： x1=x xn+1=xn。x , n ∈ Z+ 用数学归纳法易证得： xn 。 xm = xn+m (xn) m= xnm m,n ∈ Z+ 第十一章 半群与群 子半群——半群的子代数 如果V=S,。是半群，T ? S，如果 T 对 V 中的。运算封闭，则T,。就是V的子半群。 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 11.2 群的定义和性质 定义11.4 设G,。是代数系统，。为二元运算，如果。是可结合的，存在单位元e ∈S，且?x∈G都 ? x-1∈G，则称G为群。 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 练习2：设V=Z,*,其中*定义如下： ?a，b∈Z, a*b=a+b-2 请验证V是群。 解： 显然 * 运算在Z上是封闭的。 ∵ ?a，b,c∈Z, (a*b)*c=(a+b-2)*c=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+(b+c-2)-2= a+b+c-4 ∴ * 运算是可结合的。 ∵ ?a∈Z, a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a ∴ 2是* 运算的单位元。 ?a∈Z都存在逆元, a-1=4-a 综上所述，V是群。 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 练习： 在Z4, ? 中,求各元素的阶。 解： ∵14 = 1?1 ?1 ?1 =0 ∴ 1为4阶元 同理可求得：2为2阶元 3为4阶元 0为1阶元 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 证明要点： (1) a-1是a的逆元，而a也是a-1的逆元，由逆元的唯一性知(a-1)-1=a 。 (2) ∵ abb-1a-1 = aea-1 = aa-1 =e 且 b-1a-1ab= b-1eb = bb-1 =e ∴ (ab)-1=b-1a-1 (3)、(4) 应用数学归纳法，参见课本P234。 (5) (ab )n =abab…ab=a…ab…b= an bn n个ab n个a n个b 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 (2) 解的唯一性证明 设c也是方程ax=b的解,则应有ac=b,从而有 c=ec= (a-1 a)c= a-1 ( ac )= a-1b ∴ a-1b 是方程ax=b的唯一解. 同理可证明方程ya=b在G中有唯一解.(自己练习) 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 第十一章 半群与群 离散数学第20讲 本讲小结 1、理解半群、独异点、群的概念 2、掌握半群、独异点、群的判断 3、掌握半群、独异点、群的相关性质 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例11.1 考察下列代数系统哪些是半群？哪些是幺半群？ (1) Z+,+, N,+, Z,+, Q,+, R,+。 (2) Mn(R),+, Mn(R) , .,其中Mn(R)