[条件极值.ppt

* 上一页 下一页 主 页 返回 退出 * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 这样的极值称为无条件极值. 但还有很多极值问题， 除受自变量定义域限制外, 还受到其他条件的限制. 例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面 积为 依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要 求： x 0 , y 0, z 0, 而且还须满足条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值. 条件极值问题的一般形式是在条件组： 的限制下，求目标函数 的极值. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 条件极值的一种求解方法是代入法. 例如，在上述例子中，由条件 解出 代入目标函数中， 然后求这个函数的无条件极值. 得到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因 为要从条件组 下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有 效方法. 解出 m 个变元常常是不可能的. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 拉格朗日乘数法. 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 由极值的必要条件，知极值点 x0 必满足 设 记 故有 因 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引入辅助函数 辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1. 作拉格朗日函数 利用拉格朗日乘数法求函数 在条件 下的极值步骤如下： 2. 求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组： 再考察稳定点是否是极值点 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1. 要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱, 问 求 x , y , z 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ ⑴⑵⑶⑷ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 As