[概率统计.ppt

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 第2讲 例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差D(X)=s2?0. 记X *=(X-m)/s . 例2 设随机变量X具有(0-1)分布, 其分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p.求D(X). 例3 设X~p(l), 求D(X).解 X的分布律为 上节例6已算得E(X)=l, 而 E(X2)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X) 例4 设X~U(a,b), 求D(X).解 X的概率密度为 例5 设随机变量X服从指数分布, 其概率密度为 其中q0, 求E(X), D(X). 解 于是 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2q 2-q 2=q 2.即有 E(X)=q, D(X)=q 2. 方差的几个重要性质(1) 设C是常数, 则D(C)=0.(2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X).(3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (2.5)特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6)(4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, P{X=C}=1. 证 (4)证略. 下面证明(1),(2),(3)(1) D(C)=E{[C-E(C)]2}=0(2) D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2} =C2D(X).(3) D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.如X,Y相互独立, 则X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立, 则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0 例6 设X~b(n,p)求E(X),D(X).解 由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验中A发生的概率为p. 引入随机变量: 易知 X=X1+X2+...+Xn, (2.7) 由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互独立, 于是X1,X2,...,Xn相互独立. 又知Xk,k=1,2,...,n服从同一(0-1)分布: (2.7)表明以n,p为参数的二项分布变量, 可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和. 由例2知E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p), k=1,2,...,n, 则 又由于X1,X2,...,Xn相互独立, 得 即 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 例7 设X~N(m,s 2), 求E(X),D(X).解 先求标准正态变量 的数学期望和方差, Z的概率密度为 因X=m+sZ, 即得 E(X)=E(m+sZ)=m, D(X)=D(m+sZ)=E{[m+sZ-E(m+sZ)]2} =E(s2Z2)=s2E(Z2)=s2D(Z)=s2.这就是说, 正态分布的概率密度中的两个参数m和s分别就是数学期望和方差. 若Xi~N(mi,si2), i=1,2,...,n, 且它们相互独立, 则它们的线性组合: C1X1+C2X2+...+CnXn (C1,C2,...,Cn)是不全为0的常数)仍然服从正态分布, 于是由数学期望和方差的性质知道: 这是一个重要结果. 例如, 若X~N(1,3), Y~N(2,4)且X,Y相互独立, 则Z=2X-3Y也服从正态分布, 而 E(Z)=2?1-3?2=-4, D(Z)=22?3+32?4=48.故有Z~N(-4, 48). 例8 设活塞的直径(以cm计)X~N(22.40, 0.032), 气缸的直径Y~N(22.50, 0.042), X,Y相互独立. 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率.解 按题意须求P{XY}=P{X-Y0}. 由于 X-Y~N(-0.10, 0.0025),故有 P{XY}=P{X-Y0} 定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差D(X)=s2, 则对于任意正数e, 不等式 成立. 这一不等式称为切比雪夫不等式. 证 只就连续型随机变量的情况来证明, 设X的概率密度为f(x), 则有 此不等式也可写为: 这个不等式给出了, 在随机变量X的分布未知的情况下事件{|X-m|e}的概率的下限估计. 例如, 在(2.10)式中分别取e=3s, 4s得到 P{|X-m|3s}?0.8889,