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第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 矩、协方差矩阵 4.1 数学期望一.数学期望的定义 4.2 方差(Deviation)一. 定义与性质 三.切比雪夫不等式 4.3 协方差，相关系数一.协方差定义与性质 二.相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 协方差矩阵 1. 二项分布B(n, p)： 二.几个重要r.v.的方差 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解法二: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2. 泊松分布p(?)： 由于 两边对?求导得 即 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3. 均匀分布U(a, b)： 4.指数分布： 5. 正态分布N(? , ?2)： 思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。 2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn求E（Y2） B(4,0.5), N(2, 1) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意??0，有 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式： 证明：设 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a, 使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式 令 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1.协方差定义 若r.v. X的期望E(X)和Y的期望 E(Y)存在, 则称 Cov(X, Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}. 为X与Y的协方差（covariance ）, 易见 Cov(X, Y)=E(XY)－E(X)E(Y). 当Cov (X,Y)=0时，称X与Y不相关。 “X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 设(X , Y)在D={(X , Y)：x2+y2?1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，也不是相互独立的。 2.协方差性质 (1) Cov (X, Y)=Cov (Y, X); (2) Cov (X,X)=D(X); Cov (X , c)=0 (3) Cov (aX, bY)=abCov (X , Y), 其中a, b为 常数； (