[高一数学新课标必修42-3-1.ppt

2．3　平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 2．两向量的夹角与垂直 (1)已知两个非零向量a和b，作 ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的 ． 显然，当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ． (2)如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 4．设e1、e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为 (　　) A．0　　　　 　 　 B．－1 C．－2 D． [答案]　D 重点：平面向量基本定理． 难点：平面向量基本定理的应用． 关于平面向量基本定理的掌握须注意以下几点： 1．平面内任意一对不共线向量e1、e2均可作为表示这一平面内所有向量的基底．注意“不共线”的条件与“非零向量”条件的区别，不共线一定非零，非零未必不共线． 2．同一向量a，用同一基底表示的结果是惟一的． 即若e1与e2不共线，a＝λe1＋μe2，同时a＝xe1＋ye2，则必有 若a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，a∥b，则x1y2－x2y1＝0. [例1]　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 (　　) ①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 ④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①②　　　　　　 B．②③ C．③④ D．② [分析]　应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解． [解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立．故选B. 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为 (　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2，或λ＝0 [答案]　D [解析]　(1)若e1与e2不共线， ∵a与b共线，∴存在实数x，使a＝xb　(b≠0)， ∴e1＋λe2＝2xe1，∴(1－2x)e1＋λe2＝0， (2)若e1与e2共线，设e1＝xe2， 则a＝e1＋λe2＝(x＋λ)e2，b＝2e2， 综上知，a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0. 已知e1，e2是平面内两个不共线向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用a和b表示c，则c＝________. [答案]　a－2b [解析]　∵e1与e2不共线，∴a与b不共线， 设c＝λa＋μb， 则c＝λ(3e1－2e2)＋μ(－2e1＋e2) ＝(3λ－2μ)e1＋(μ－2λ)e2， 又∵c＝7e1－4e2， 由基底表示向量的惟一性知， [例4]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值． 证明三角形的中位线定理． [例5]　已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ [解析]　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线． 若a、b是两个不共线的向量(t∈R)，a、tb、 (a＋b)三向量的起点相同，若三向量的终点共线，则t＝________. [例7]　已知c＝ma＋nb，设a、b、c有公共起点，要使a、b、c的终点在一条直线上，m、n(m、n∈R)需满足的条件是 (　　) A．m＋n＝－1 B．m＋n＝1 C．m＋n＝0 D．m＋n的值不确定 [辨析]　对平面向量基本定理的条件不清．平面向量基本定理中所说的平面α内任意向量m可用平面α内的两个向量e1与e2线性表示且表示的结果是惟一的，其先决条件是 不共线． [正解]　当a，b不共线时，同错解可得m＋n＝1；当a与b共线时，不妨设b＝λa，则c＝(m＋λn)a，