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第十五次课 上节课已经介绍:离散型随机变量的数学期望：设随机变量X的分布律为p{X=xi} =pi i=1,2,3……当 绝对收敛时，称 为随机变量X的数学期望，记为 当 不绝对收敛时，称随机变量X的数学期望不存在 （2）当X是连续型 第四章 §4.1 随机变量的数学期望 数学期望的性质 （1）对任意的常C，EC=C （常数的期望等于自身） （2）对任意常数C和随机变量X，都有E(CX)=C·EX （系数可提出来） （3）对任意随机变量X，Y，有E(X±Y)=EX±EY （和的期望等于期望之和） 证明：设二维离散型随机向量（X，Y） 设二维连续型随机向量（X，Y） 证明：设二维离散型随机向量（X，Y） 例1：设X服从参数为λ的泊松分布p(λ) 求E(X-λ)2 解：E(X-λ)2=E(X2-2Xλ+λ2) =EX2-2λEX+λ2 =EX2-λ2 ∵EX=λ （只要求EX2） 而 §4.2 随机变量的方差 一、方差的概念 例1：设甲、乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为X，Y，分布律如下，求EX，EY 一般地，对于随机变量X的取值x，x-EX反映了x与EX的偏离程度，称为x对EX的离差，但直接用X-EX的期望E(X-EX)来反映X与EX的偏离程度，会因正负离差相互抵消而掩盖偏离的程度，而用离差绝对值的期望E(|X-EX|)，又因带有绝对值号不便运算。因此，通常选取离差平方的期望E(X-EX)2作为刻划X取值相对于EX的分散程度的数字特征，这就是下而介绍的方差。 定义：对于随机变量X，若E(X-EX)2存在，则称为X的方差，用DX表示，即DX=E(X-EX)2 （离差平方的数学期望） 当X为离散型随机变量 注意：1.DX是刻划随机变量X对其期望或均值EX的偏离（分散）程度的一个数值，且DX≥0 ， DX也是一个数学期望。 2.当DX越小，表明随机变量X的取值越密集在EX附近。反之，随机变量X的取值越分散。 例1：求例1中的DX，DY 为了使计算简便，实际计算公式 DX=EX2-(EX)2 证明：DX=E(X-EX)2 =E[X2-2X·EX+(EX)2] =EX2-2EX·EX+(EX)2 =EX2-(EX)2 ∴DX=EX2-(EX)2 EX2=DX+(EX)2 例2：求下列随机变量X的方差 1.X～U[a,b]， 均匀分布 解： 2.X～E(λ) 指数分布 解： 3.X～N（μ，σ2） 正态分布 解：EX= μ 例3：求下列离散型随机变量X的方差 1.X～B（1，p） 0—1分布 解：EX=p EX2=12×p+02×(1-p)=p DX=EX2-(EX)2 =p-p2=p(1-p)=pq 2.X～p（λ） 解：EX=λ 二、方差的性质 （1）常数的方差为0， DC=0（C∈R） DX≥0 （方差非负） 证明：DC=E(C-EC)2 =E(C-C)2=0 （2）D(CX)=C2DX （方差提系数，变平方） 证明：D(CX)=E(CX-E(CX))2=E(CX-CEX)2 =E(C(X-EX))2=C2DX （3）D(X+C)=DX （加常数的方差，等于不加） 证明：D(X+C) =E[(X+C)-E(X+C)]2=E(X+C-EX-C)2 =E(X-EX)2=DX （4）若X与Y相互独立 则 D(X±Y）=DX+DY （代数和的方差等于方差的和） 证明：D(X+Y) =E(X+Y)2-[E(X+Y)]2=E(X2+2XY+Y2)-(EX+EY)2 =EX2+2E(XY)+EY2-(EX)2-(EY)2-2EXEY （2EX·EY） =[EX2-(EX)2]+[EY2-(EY)2]=DX+DY 注：与期望的条件不同 可推广到n个两两独立的随机变量X1,X2,…,Xn… D(X1±X2 ±… ±Xn)=DX1+DX2+…+DXn 例4：X～B（n，p）二项分布 解： 例