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§3 协方差和相关系数 Covariance and 一、协方差 二、相关系数 (correlation coefficient) 设(X,Y)是一随机向量，当D(X)0, D(Y)0,则称数值 三、几个常用的数字特征 1、矩 (moment) :  2、协方差矩阵 （了解） ①二维r.v(X,Y)有四个二阶中心矩即D(X) 、cov(X,Y) 、cov(Y,X) 、D(Y),将它们排成矩阵 称为X,Y的协方差矩阵. 小结： 征 = = 数 字 特 * （1）定义：D（X）= 1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若k是常数,则D(kX)=k2 D(X); 3. 若X1与X2 独立，则D(X1+X2)= D(X1)+D(X2); 复习：方差 （2）计算： 方法2: 方法1：由定义 （3）性质： 一般地： D(X1+X2)= D(X1)+D(X2) + 2 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (3)泊松分布: (1)(0-1)分布: D(X)=p (1-p ) (2) 二项分布: D(X)=np(1-p) D(X)= (4)正态分布: (5)均匀分布: D(X)= D(X)= (6) 指数分布 （4）常见分布的方差： (5) 切比雪夫不等式 设r.vX具有均值E(X)=? ,方差D(X)=?2，则对?? 0 ,有不等式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明:根据数学期望与方差的性质: 证明E(Y)=0,D(Y)=1 P99T10： 设E(X),D(X)均存在,且D(X) ≠0 通常把由 r.v X 构造r.v Y的过程叫做对r.v X 标准化。 注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. correlation coefficient Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于一个二维随机向量（X，Y），期望和方差只反映了它们各自的平均取值与相对于其均值的偏离程度，没有反映出X与Y之间的相互关系。 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 注意到公式 若X、Y相互独立, D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0， 可以发现 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 这个数在一定程度上反映了X与Y之间的关系，称为X与Y的协方差。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1、定义: 设(X,Y)是一随机向量，称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y的协方差,记作Cov（X，Y）或?XY，即 若X、Y相互独立 说明 ①对于r. vX,Y， D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 协方差是刻划r.vX与Y间取值的相互关系的数 字特征.显然: ②意义: Cov(X,Y)=0, 1)用定义式 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 2、计算方法 2)用简单公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X,X)=D(X) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Y X -