[概率论与数理统计方差.ppt

* * 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 甲仪器测量结果 乙仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的 方差 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用. 方差的算术平方根 称为标准差 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2∞，则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 为X的方差. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； D(X)=E[X-E(X)]2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. X为离散型， P(X=xk)=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为连续型， X~f(x) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 请自己用此公式计算常见分布的方差. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1 设r.v X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n 其中0p1,求D(X) 解： 记q=1-p 求和与求导 交换次序 无穷递缩等比 级数求和公式 Evaluation only. Created with