连通性动态规划连通性动态规划.doc

基于连通性状态压缩的动态规划问题 长沙市雅礼中学 陈丹琦 【摘要】 ——划分阶段，确立状态，状态转移以及程序实现来介绍这类问题的一般解法，会特别针对到目前为止信息学竞赛中涌现出来的几类题型的解法作一个探讨．结合例题，本文还会介绍作者在减少状态总数和降低转移开销两个方面对这类问题优化的一些心得． 【关键词】【目录】 【序言】 3 【正文】 5 一. 问题的一般解法 5 【例1】Formula 1 5 问题描述 5 算法分析 5 小结 11 二. 一类简单路径问题 12 【例2】Formula 2 15 问题描述 15 算法分析 15 小结 16 三. 一类棋盘染色问题 17 【例3】Black White 17 问题描述 17 算法分析 17 小结 19 四. 一类基于非棋盘模型的问题 20 【例4】生成树计数 20 问题描述 20 算法分析 20 小结 21 五. 一类最优性问题的剪枝技巧 22 【例5】Rocket Mania 22 问题描述 22 算法分析 22 小结 25 六.总结 26 【参考文献】 27 【感谢】 27 【附录】 27 【】先看一个非常经典的问题——旅行商问题即TSP问题，Traveling Salesman Problem：一个n≤15)个点的带权完全图，求权和最小的经过每个点恰好一次的封闭回路．这个问题已经被证明是NP，其中ji，i，j in S．，虽然为指数级算法，但是对于n = 15的数据规模来说已经比朴素的的有哪些信誉好的足球投注网站算法高效很多了．我们通常把这样一类以一个集合内的元素信息作为状态且状态总数为指数级别的动态规划称为基于状态压缩的动态规划或集合动态规划．基于状态压缩的动态规划问题通常具有以下两个特点：1．数据规模的某一维或几维非常小；2．它需要具备动态规划问题的两个基本性质：最优性原理和无后效性． 一般的状态压缩问题，压缩的是一个小范围内每个元素的决策，状态中元素的信息相对独立．而有些问题，仅仅记录每个元素的决策是不够的，不妨再看一个例子：给你一个m * n (m, n≤9) 的矩阵，每个格子有一个价值，要求找一个连通块使得该连通块内所有格子的价值之和最大．按从上到下的顺序依次考虑每个格子选还是不选，下图为一个极端情况，其中黑色的格子为所选的连通块．只考虑前5行的时候，所有的黑色格子形成了三个连通块，而最后所有的黑色格子形成一个连通块．如果状态中只单纯地记录前一行或前几行的格子选还是不选，是无法准确描述这个状态的，因此压缩的状态中我们需要增加一维，记录若干个格子之间的连通情况．我们把这一类必须要在状态中记录若干个元素之间的连通信息的问题称为基于连通性状态压缩的动态规划问题．本文着重对这类问题进行研究． 连通是图论中一个非常重要的概念，在一个无向图中，如果两个顶点之间存在一条路径，则称这两个点连通．而基于连通性状态压缩的动态规划问题与图论模型有着密切的关联，比如后文涉及到的哈密尔顿回路、生成树等等．通常这类问题的本身与连通性有关或者隐藏着连通信息． 全文共有六个章节． 第一章，问题的一般解法，介绍解决基于连通性状态压缩的动态规划问题的一般思路和解题技巧； 第二章，一类简单路径问题，介绍一类基于棋盘模型的简单路径问题的状态表示的改进——括号表示法以及提出广义的括号表示法； 第三章，一类棋盘染色问题，介绍解决一类棋盘染色问题的一般思路； 第四章，一类基于非棋盘模型的问题，介绍解决一类非棋盘模型的连通性状态压缩问题的一般思路； 第五章，一类最优性问题的剪枝技巧，本章的重点是优化，探讨如何通过剪枝来减少扩展的状态的总数从而提高算法的效率； 第六章，总结，回顾前文，总结解题方法． 【正文】 基于连通性状态压缩的动态规划问题通常具有一个比较固定的模式，几乎所有的题目都是在这个模式的基础上变形和扩展的．本章选取了一个有代表性的例题来介绍这一类问题的一般解法． 【】 问题描述 给你一个m * n的棋盘，有的格子是障碍，问共有多少条回路使得经过每个非障碍格子恰好一次．m, n ≤ 12． 如图，m = n = 4，(1, 1), (1, 2)是障碍，共有2条满足要求的回路． 算法分析 【划分阶段】 这是一个典型的基于棋盘模型的问题，棋盘模型的特殊结构，使得它成为连通性状态压缩动态规划问题最常见的“舞台”．通常来说，棋盘模型有三种划分阶段的方法：逐行，逐列，