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第二章 Z变换 2.1 引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 在时域离散信号和系统中，信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整数时无定义， 而系统则用差分方程描述。 ? 离散时间信号与系统中频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换， 以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。 例题 已知 ， 求其逆变换x(n)。 解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一的原序列x(n)， 必须先确定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点分布如图所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这样收敛域有三种选法， 它们是 (1) |z||a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a||z||a-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |z||a|， 对应的x(n)是左序列。 下面按照收敛域的不同求其x(n)。 (1) 收敛域|z||a-1| 最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收敛域|z||a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和 最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1) (3) 收敛域|a||z||a-1| 这种情况对应的x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n≥0和n0两情况分别求x(n)。 n≥0时， c内极点z=a x(n)=Res［F(z), a］=an n0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-Res［F(z), a-1］=a-n 最后将x(n)表示为 an n≥0 x(n)= x(n)=a|n| a-n n0 2.5 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系 2.6 序列的傅里叶变换 因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根据式（2-1）Z变换的定义，用ejω代替z，从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为 ： 常见序列的傅里叶变换对 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足 xe(n) = xe*(-n) ，则称该序列为共轭对称序列。 分析对称关系： 设序列 其中 分别表示实部和虚部。则 则应满足 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。 特殊地，如序列是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0