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《高等数学》——重积分 摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。 关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用. 在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。 I.重积分的应用归纳如下: 1.1曲面的面积 设曲面的方程为在面上的投影为，函数在上具有连续偏导数，则曲面的面积为： 若曲面的方程为在面上的投影为，则曲面的面积为： 若曲面的方程为在面上的投影为，则曲面的面积为： 例1：计算双曲抛物面被柱面所截出的面积。 解：曲面在面上投影为,则 即有: 从而被柱面所截出的面积如上所示。 例2:求半径为的球的表面积. 解:取上半球面方程为, 则它在面上的投影区域. 又由 得 因为这函数在闭区域上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域为积分区域,算出相应于的球面面积后,令取的极限就得半球面的面积. 利用极坐标,得 于是 这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为 1.2质量 1.2.1平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域，面密度为，则它的质量为，其中称为质量元素. 1.2.2物体的质量 若物体占有空间闭区域，体密度为，则它的质量为 例3：由螺线，与直线，围成一平面薄片，它的面密度为，求它的质量。 解：如图所示， 1.3质心 1.3.1平面薄片的质心 若平面若平面薄片占有平面比区域，面密度为，则它的质心坐标为：，其中为平面薄片的质量. 1.3.2物体的质心 若物体占有空间闭区域，体密度为，则它的质心坐标为： ，其中为物体的质量. 例4：求位于两球面，和之间的均匀物体的质心. 解：由对称性可知，质心必须位于轴上 ，故 由公式 由面常数，不妨设，则 ， 所以 ， 从而质心坐标为。 例5:求位于两圆和之间的均匀薄片的质心。 解：如图所示： 因为闭区域对称于轴轴，所以质心，必位于轴上，于是。 再按公式 计算，由于闭区域位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即。再利用极坐标计算积分 因此 所以质心是。 1.4转动惯量 1.4.1平面薄片的转动惯量 若平面薄片占有平面闭区域，面密度为，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为: 1.4.2物体的转动惯量 若物体占有空间闭区域，体密度为，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为: 例6：求