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量子力学复习提纲量子力学复习提纲
量子力学复习提纲
第一章 绪论
1.德布罗意关系,
(1)
(2)
2.微观粒子的波粒二象性.
3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为
(3)
第二章 波函数和薛定谔方程
1.波函数的统计解释:
波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波.
其中代表几率密度.
2.态叠加原理:
如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能状态.
薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程 (4)
定态薛定谔方程
(5)
其中
(6)
为哈密顿算符,又称为能量算符,
4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.
5. 波函数的归一化,
(9)
6.求解一维薛定谔方程的几个例子.
一维无限深势阱及其变种,
一维线性谐振子;
势垒贯穿.
第三章 量子力学中的力学量
坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;
本征值方程,本征值,本征函数的概念
(10)
3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.
(11)
实数性: 厄密算符的本征值是实数.
正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数
相互正交.
完全性: 厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开为级数:
(12)
展开系数:
, (13)
. (14)
是在态中测量力学量得到的几率,
是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率.
4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函数.
,
本征函数 .
5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构,
(15)
主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念.
6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.
(16)
不考虑电子的自旋是度简并的;
考虑电子的自旋是度简并的.
7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的
体积元内的几率
(17)
计算电子几率的径向分布和角分布.
计算在半径到的球壳内找到电子的几率.
给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.
(18)
注意(11)式对波函数所在的空间作积分.
算符的对易关系及测不准关系.
(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.
例如: 氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易, 则
(i) 它们有共同的本征函数,
(ii) 在态中,它们同时具有确定值:
, , .
(2) 测不准关系:如果算符和不对易,则一般来说它们不能同时有确定值.
设
则算符和的均方偏差满足:
(19)
其中
,
利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等.
给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积
(20)
态和力学量的表象
对表象的理解
(1) 状态: 态矢量
(2) 表象:力学量的本征函数
构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量
(4) 将态矢量按照上述基矢量展开:
是态矢量在表象中沿各
基矢量的分量.
(5) 是在所描写的态中,测量力学量得到结果为的几率.
算符在Q表象中的表示
(i)算符在Q表象中是一个矩阵, 称为矩阵元
(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值.
3. 量子力学公式的矩阵表述
平均值公式:
(21)
本征值方程 ( 久期方程
(
薛定谔方程的矩阵形式
(22)
4. 么正变换的概念
么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵.
么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,
态矢量由A表象变换到B表象的公式
(23)
力学量由A表象变换到B表象的公式:
(24)
5. 么正变换的性质
(i)
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