量子试题及习题量子试题及习题.doc

量 子 力 学 习 题 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长(m与温度T成反比，即 (mT=b(常量）； 并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔(E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) (1=eikr/r, (2) (2=e-ikr/r. 从所得结果说明(1表示向外传播的球面波，(2表示向内（即向原点）传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 2.4 一粒子在一维势阱 中运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。 2.5 对于一维无限深势阱(0xa)中的定态(n(x)，求、和(x，并与经典力学结果比较。 2.6 粒子在势场 中运动，求存在束缚态(E0)的条件(，m，a，V0关系)以及能级方程。 2.7 求二维各向同性谐振子[V=k(x2+y2)]的能级，并讨论各能级的简并度。 2.8 粒子束以动能E=从左方入射，遇势垒 求反射系数、透射系数。EV0及EV0情形分别讨论。 2.9 质量为m的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能量算符，(为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数(n(()，讨论各能级的简并度。 第三章 基本原理 3.1 一维谐振子处在基态，求： (1) 势能的平均值； (2) 动能的平均值； (3) 动量的几率分布函数。 3.2 设t=0时，粒子的状态为 ((x)=A[sin2kx+coskx]， 求此时粒子的平均动量和平均动能。 3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ((x)=Ax(a-x) 描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 3.4 证明：如归一化的波函数((x)是实函数，则x px=i/2；如(=((r)（与(，(无关），则r= (3/2。 3.5 计算对易式[x, Ly]，[pz, Lx]，并写出类似的下标轮换式(x(y, y(z, z(x)。 3.6 证明算符关系 3.7 设F为非厄米算符(F+(F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。求A、B与F、F+之关系。 3.8 一维谐振子(V1=kx2)处于基态。设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。 3.9 有线性算符L、M、K，[L, M]=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为(n、(n (n=1, 2, ...)。证明：如函数M(n及 L(n 存在，则它们也是K的本征函数，本征值为((n(1)。 3.10 证明：如H=/2m+V()， 则对于任何束缚态=0。 3.11 粒子在均匀电场中运动，已知H=/2m-q(x。设t=0时=0，=p0，求(t)，(t)。 3.12 粒子在均匀磁场=(0, 0, B)中运动，已知H=/2m ((Lz，(=qB/2mc。设t=0时=(p0, 0, 0)，求t0时。 3.13 粒子在势场V()中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。 第四章 中心力场 4.1 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer=Je(=0, Je(= (。 4.2 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为 原子磁矩与角动量之比为 这个比值，称为回转磁比率。 4.3 设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可